Đa tạp phức tạp được xác định trên $\mathbb{Q}$

Question

Nếu chúng ta xem xét các giống xạ ảnh phức tạp, sẽ được xác định qua $\mathbb{Q}$ có nghĩa là có một phép nhúng xạ ảnh có hình ảnh là quỹ tích biến mất của một hệ đa thức với các hệ số trong $\mathbb{Q}$.

Nếu chúng ta coi các đa tạp phức tạp khép kín thì không có không gian xung quanh rõ ràng.

Tuy nhiên, chúng tôi có thể yêu cầu rằng phải có một số nguyên dương $n$ và một sự lựa chọn

• bất cứ gì $1\leq i\leq n$, mở bộ $U_i\subset M$
• bất cứ gì $1\leq i<j\leq n$ như vậy mà $U_i\cap U_j\neq \emptyset$, điểm $p_{i, j}\in U_i\cap U_j$
• bất cứ gì $1\leq i \leq n$, nhúng holomorphic $\phi_i:U_i\to \mathbb{C}^{d}$ như vậy cho bất kỳ $i< j \leq n$ với $U_i\cap U_j\neq \emptyset$ bản đồ chuyển tiếp $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ là tỷ số của hai hàm holomorphic $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ từng có chuỗi Taylor với hệ số trong $\mathbb{Q}$ xung quanh $p_{i, j}$ hội tụ tất cả $\phi_i(U_i\cap U_j)$?

Khái niệm này đã được nghiên cứu? Có một ống góp phức hợp khép kín không thuộc lớp Fujiki$\mathcal{C}$ thỏa mãn điều kiện này?

Answer 1

Lưu ý rằng đây là một câu trả lời chính xác cho câu hỏi ban đầu, vì vậy tôi sẽ để nó ở đây, mặc dù câu hỏi hiện đã được thay đổi. (Có thể khôi phục câu hỏi ban đầu bằng cách quay lại các phiên bản trước.)

Trên thực tế, mọi đa tạp phức tạp đều có một tập bản đồ như vậy.

Để cho $(M,J)$ là một phức hợp (hữu hạn chiều) $n$-manifold và let $\mathscr{U}$ là một trang bìa mở của $M$với các thuộc tính (i) cho mỗi$U\in\mathscr{U}$, đây là một $J$-biểu đồ hình học $\zeta:U\to\mathbb{C}^n$, và (ii) Đối với mỗi$U\in\mathscr{U}$ có một điểm $p\in U$ điều đó không nằm trong bất kỳ $V\in\mathscr{U}$ khác với $U$. (Sử dụng tính paracompactness, không khó để xây dựng một biểu đồ như vậy.) Sau đó, bằng cách chọn một 'điểm tham chiếu' như vậy$p_U\in U$ với $p_U\not\in V\in\mathscr{U}$ cho $V\not=U$ và một $J$-biểu đồ hình học $\zeta_U:U\to\mathbb{C}^n$ vậy nên $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$, chúng tôi đến một 'tập bản đồ nhọn' $$ \widehat{\mathscr{U}} = \{ (U,\zeta_U,p_U)\ |\ U\in \mathscr{U}\ \} $$với tất cả các thuộc tính đã nêu. Lý do là thời điểm duy nhất$p_U$ nằm trong miền của một hàm chuyển đổi cho tập bản đồ nhọn $ \widehat{\mathscr{U}}$ là khi một người đang 'chuyển tiếp' từ $U$ đến $V=U$và, trong trường hợp đó, chức năng chuyển tiếp duy nhất là ánh xạ danh tính trên $\zeta_U(U)\subset\mathbb{C}^n$, có chuỗi Taylor tại $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$ rõ ràng có tất cả các hệ số trong $\mathbb{Q}$ (trên thực tế, tất cả các hệ số đều nằm trong $\mathbb{Z}$).