Định lý Munkres van Kampen

Question

Bài toán trên nằm trong bài tập tôpô Munkres 70.2. Tôi đang cố gắng xác định một bản đồ$\phi_2$. Cố gắng của tôi là, đầu tiên xác định một đẳng cấu$\varphi:\pi_1(U\cap V)/N\to \pi_1(V)$ Ở đâu $N:=ker(i_2)$. Tiếp theo xác định$\phi_2$ bởi $\phi_2([f])=\phi_1(i_1(\varphi^{-1}([f])))$. Sau đó,$\phi_1(i_1([f]N))=\phi_1(i_1([f])i_1(N))=i_1([f])i_1(N)M=i_1([f])M$. Điều này có hợp lệ không?

Answer 1

Điều này có vẻ đúng với tôi. Trong bước cuối cùng, bạn đang sử dụng$i_1(N) \subset M$đó là phần thông tin quan trọng trong vấn đề này. Ý tưởng, ít chính xác hơn, là sử dụng$$ \pi_1(V, x_0) \cong \pi_1(U \cap V, x_0)/N \xrightarrow{i_1} \pi_1(U, x_0)/M = H $$ nơi mà bản đồ thứ hai được tạo ra bởi $i_1 : \pi_1(U \cap V, x_0) \to \pi_1(U, x_0)$ và tồn tại bởi vì $i_1(N) \subset M$.

Đây là giải pháp chính xác nhưng tôi sẽ đề cập rằng tôi muốn nghĩ về điều này hơi khác một chút. Định lý Van Kapen xác định$\pi_1(X, x_0)$ với sản phẩm miễn phí hỗn hợp $G_1 *_H G_2$ Ở đâu $G_1 = \pi_1(U, x_0)$ và $G_2 = \pi_1(V, x_0)$ và $H = \pi_1(U \cap V, x_0)$ (đây chính xác là colimit của sơ đồ bạn đã viết ra trong danh mục nhóm).

Bây giờ giả sử $H \to G_2$ là chủ quan cũng nên "rõ ràng" rằng $G_1 *_H G_2 = G_1 / \left< \ker{(H \to G_2)} \right> $ Ở đâu $\left< \ker{(H \to G_2)}\right>$ là nhóm con bình thường của $G_1$ được tạo bởi hình ảnh trong $G_1$ nhân của $H \to G_1$. Tại sao thế này? Vâng nếu mọi thứ trong$G_2$ là trong hình ảnh của $H \to G_2$ sau đó nó có thể được "hợp nhất" thành $G_1$ và hỗn hợp hơn nữa giết chết bất cứ thứ gì trong $G_1$ điều đó đến từ những thứ trong $H$ ánh xạ đến 0 dưới $H \to G_2$. Nếu bạn là người yêu thích lý thuyết phạm trù, bạn sẽ có thể chỉ ra rằng khi$H \to G_2$ sau đó là chủ nghĩa $H \to G_1 \to G_1 *_H G_2$ làm cho $G_1 *_H G_2$ cokernel của $H \to G_1$ đưa ra chính xác những gì bạn muốn.