Dự đoán logic và suy luận

Question

Giả sử rằng ba vị từ nhất định được trình bày dưới đây:

$H(x)$: $x$ là một con ngựa

$A(x)$: $x$ là một con vật

$T(x,y)$: $x$ là một cái đuôi của $y$

Sau đó, chuyển suy luận sau thành một suy luận bằng cách sử dụng các biểu thức logic vị từ và chứng minh liệu suy luận có hợp lệ hay không (ví dụ: sử dụng suy luận tự nhiên):

Ngựa là động vật.

---

Đuôi ngựa là đuôi của các loài động vật.

Suy nghĩ của tôi: Tôi khá giỏi trong việc dịch các biểu thức logic vị ngữ, nhưng ở đây tôi đã phải vật lộn để tìm ra công thức cho đuôi Ngựa. Ý tưởng ban đầu của tôi là xem xét những câu tương tự như "w is a tail of a horse" để tạo thành suy luận bắt buộc, nhưng nó đã không thành công. Rất mong được nghe ý kiến ​​của bạn về nhiệm vụ này.

Answer 1

Như được đề xuất chính xác trong lemontree's https://math.stackexchange.com/a/3840664/288417, "Đuôi ngựa là đuôi của động vật" có thể được chính thức hóa thành $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to A(y) \big)$ hay chính xác hơn, $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$.

Tất nhiên, lập luận

$\frac{\text{Horses are animals}}{\text{Horses' tails are tails of animals}} \quad \text{i.e.} \quad \frac{\forall y (H(y) \to A(y))}{\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)}$

là hợp lệ. Đầu tiên, tôi cung cấp cho bạn một bằng chứng không chính thức về điều đó.

Chúng tôi muốn chứng minh rằng $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$, theo giả thuyết $\forall y (H(y) \to A(y) )$. Vì vậy, chúng ta hãy sửa chữa những cá nhân tùy tiện$x$ và $y$ và chúng ta hãy giả sử rằng $H(y) \land T(x,y)$, chúng tôi phải thể hiện rằng $A(y) \land T(x,y)$. Kể từ khi giả thuyết$\forall y (H(y) \to A(y) )$, vì thế $H(y) \to A(y)$ giữ cho cụ thể $y$chúng ta đã chọn. Hơn nữa, chúng tôi đang cho rằng$H(y) \land T(x,y)$ và đặc biệt $H(y)$nắm giữ. Bởi modus ponens , từ$H(y) \to A(y)$ và $H(y)$ nó theo sau đó $A(y)$. Ngoài ra, vì chúng tôi đang cho rằng$H(y) \land T(x,y)$, đặc biệt $T(x,y)$nắm giữ. Vì thế,$A(y) \land T(x,y)$. Do đó, chúng tôi đã chứng minh rằng, đối với$x$ và $y$, nếu $H(y) \land T(x,y)$ sau đó $A(y) \land T(x,y)$. Vì vậy,$\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$ giữ, theo giả thuyết $\forall y (H(y) \to A(y))$.

Bạn có thể chính thức hóa bằng chứng này trong suy luận tự nhiên như sau:

$$ \dfrac {\dfrac {\dfrac {\dfrac{\dfrac{\forall y (H(y) \to A(y))}{H(y) \to A(y)}\forall_\text{elim} \qquad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{H(y)}\land_\text{elim}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{A(y)}\to_\text{elim} \quad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{T(x,y)}\land_\text{elim}} {A(y) \land T(x,y)}\land_\text{intro}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {(\!\!\!\!\!\!\!\!H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))} \to_\text{intro}^*\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {\dfrac {\forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} {\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} \forall_\text{intro} } \forall_\text{intro} $$

Answer 2

Gợi ý:

"$x$ là một $P$'s tail "có nghĩa là $x$ là một cái đuôi của $y$ và $y$ là một $P$.

"Đuôi ngựa là đuôi của động vật" có nghĩa là cho tất cả các đuôi $x$ và những người có đuôi $y$, đuôi là đuôi ngựa ngụ ý đuôi là đuôi động vật (trong đó "là $P$'s tail "chèn định nghĩa trên).

Với sự hình thức hóa thích hợp của cách diễn giải này, có thể tìm thấy một bằng chứng chính thức cho suy luận.