$f(xf(x)) = 2f(x)$

Question

Câu hỏi nói rằng

Tìm tất cả các hàm thỏa mãn$$f(xf(x)) = 2f(x)$$.

Bằng cách so sánh bậc của hai vế của phương trình, ta có thể dễ dàng thấy rằng $f$không thể là một đa thức khác 0 hoặc một hàm lũy thừa. Hàm thỏa mãn phương trình hàm mà tôi tìm thấy cho đến nay là hàm tầm thường$f(x) =0$. Bất cứ ai có thể chỉ một cách để tìm phần còn lại hoặc chứng minh một trong những tôi tìm thấy là duy nhất? Cảm ơn trước.

Answer 1

Hãy để chúng tôi tìm kiếm tất cả các giải pháp liên tục (một hạn chế rất chuỗi!)$\Bbb R\to\Bbb R$ (một miền cho phép nhiều công cụ!).

---

Với $x=0$, chúng ta tìm thấy $f(0)=0$.

Nếu $f(x_0)=1$, sau đó $$2=2f(x_0)=f(x_0f(x_0))=f(x_0)=1,$$mâu thuẫn. Chúng tôi kết luận$f(x)\ne1 $ cho tất cả $x$.

Nếu $y=f(x)$ là trong hình ảnh của $f$, thì cũng vậy $2y=f(xf(x))$. Đặc biệt, nếu$f$ đạt được bất kỳ giá trị dương nào, sau đó $f$là không bị ràng buộc từ phía trên. Nhưng sau đó Định lý Giá trị Trung gian ngụ ý rằng$1$ là trong hình ảnh của $f$. Chúng tôi kết luận rằng$f(x)\le 0$ cho tất cả $x$.

Và nếu $f$ đạt được bất kỳ giá trị âm nào, sau đó $f$không bị ràng buộc từ bên dưới. Sau đó$f(x_1)=-\frac12$ cho một số $x_1$. Sau đó$$ f(-\tfrac12x_1)=f(x_1f(x_1))=2f(x_1)=-1.$$ Bằng IVT một lần nữa, có tồn tại $x_2$ giữa $0$ và $-\frac12x_1$ với $f(x_2)=-\frac12$. Bằng cách lặp lại quá trình này, chúng tôi thu được một chuỗi$\{x_n\}$ như vậy mà $f(x_n)=-\frac 12$ và $|x_{n+1}|<\frac12|x_n|$, I E, $x_n\to 0$. Như$f(0)=0$, điều này mâu thuẫn với tính liên tục.

Chúng tôi kết luận rằng giải pháp liên tục duy nhất $f\colon \Bbb R\to\Bbb R$ là giải pháp tầm thường.