Giới hạn bởi tọa độ cực

Question

Xin chào, tôi cần một số trợ giúp về giới hạn này: $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}$$ Tôi đã sử dụng tọa độ cực và nhận được điều đó $$ \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}= \frac{r^3\cdot(\cos φ)^4 \sin φ } {1+ (\cosφ)^2+\sin(2φ)} $$ Tôi không biết làm thế nào để tiếp tục việc này.

Answer 1

$(x,y) \mapsto (r cos\phi, r sin\phi)$. Vì vậy, khi$(x,y) \to (0,0)$ nó tương đương với việc nói rằng $r\to 0$. Do đó, giới hạn sẽ bằng 0 vì bạn có$r^3$ trong tử số.

Answer 2

Thay vào đó, không có tọa độ cực, vì $(x+y)^2 \ge 0$, chúng tôi có cái đó

$$x=0 \,(y\neq 0)\implies \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}=0$$

$$x\neq 0 \implies \left|\frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}\right|\le\left|\frac{x^4y}{x^2}\right| =x^2|y| \to 0$$

Lưu ý rằng sử dụng tọa độ cực, để kết luận lại bằng định lý bóp, chúng ta cần chỉ ra rằng

$$f(\theta)=\frac{(\cos φ)^4 \sin φ } { (\cosφ)^2+2\sin φ\cos φ +1}$$

được giới hạn dẫn đến cùng một phương pháp trước đó.