Giới hạn cho định mức giải quyết

Question

Để cho $H$là một không gian Hilbert phức tạp, vô hạn chiều, có thể phân tách được. Sửa bất kỳ hai toán tử khác nào$A,B \in B(H)$ như vậy mà $B$ không phải là bội số vô hướng của $A$. Ai cũng biết rằng:

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

Điều này dễ dàng xảy ra sau:

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

Bây giờ hãy xem xét nhà điều hành $A+ cB$ Ở đâu $c$ là một số thực dương và sửa một số phức $z$. Chúng ta có thể nói rằng, cho tất cả$\epsilon >0$, có tồn tại $M>0$ như vậy mà:

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

Một cách trực quan , cho$c \rightarrow +\infty$, chúng ta sẽ có:

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

bởi vì $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ và $B$là cố định. Tuy nhiên, tôi không biết bất kỳ tài liệu tham khảo nào cho kết quả loại này. Có ai có một tài liệu tham khảo hoặc một bằng chứng về điều này?

Answer 1

Như Michael đã quan sát: Thật đơn giản để xây dựng các ví dụ phản bác nếu $B$ có một hạt nhân không tầm thường $N(B)$ và $A$ bản đồ $N(B)$ vào chính nó, kể từ đó $N(B)$ kích thước của $c$ không đóng vai trò gì.

Nhưng ngay cả khi $B$ là một đẳng cấu, thậm chí là đồng nhất $B=I$, phỏng đoán là sai: $z-A-cB=(z-c)-A$. Mức tối đa của tiêu chuẩn nghịch đảo (trên tất cả$z$ từ bộ giải pháp tương ứng) rõ ràng là độc lập với $c$.

Dù sao, nếu $B$là một phép đẳng cấu, có một số ước tính:

Có giữ $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$và người ta có thể sử dụng ước tính giải quyết được đề cập trong câu hỏi để có được $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ Điều này đưa ra một ước tính nếu $|c|$ lớn so với $|z|\|B^{-1}\|$.

Nếu $|z|$ lớn so với $|c|\|B\|$, ước tính từ câu hỏi có thể được sử dụng.

Nếu cả hai trường hợp không xảy ra, thì không cần phải có một ước tính tốt như đã đề cập ở trên ($B=I$).