Giới hạn chức năng tầng
Từ CMC:
Tổng bình phương của các số thực là bao nhiêu $x$ mà $x^2 - 20\lfloor x\rfloor + 19 = 0$?
Chúng tôi sử dụng $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ và cuối cùng đạt được giới hạn $1\le x\le19$ và $x\ge 18,x\le 2.$ Tất nhiên, có thể $x$ không phải là một số nguyên, vậy làm cách nào để chúng ta tìm ra các giải pháp khác, ngoài $19$ và $1$?
Ai đó đã viết giải pháp này:
$x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19 = 0$ Cleary $x\geq \lfloor x \rfloor$ cho tất cả thực $x$. Vì vậy,$$x^2-20x+19 \leq x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19=0.$$ Dẫn đến $$1 \leq x \leq19.$$Cũng thế $x^2=20\lfloor x\rfloor - 19$ ngụ ý $\lfloor x \rfloor=1,17,18,19$.
Tôi không chắc làm thế nào chúng ta có được $\lfloor x\rfloor=17,18$ từ đây.
Trả lời
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{x^{2} - 20\left\lfloor\,{x}\,\right\rfloor + 19 = 0}\,,\quad x = {\Large ?}}$
Rõ ràng là $\ds{\left\lfloor x\right\rfloor = {x^{2} + 19 \over 20} = m, \mbox{where}\ m \in \mathbb{N}_{\geq\ 1}\ \mbox{such that}\ x = \root{20m - 19}}$.
Sau đó, \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{m = \left\lfloor\,{\root{20m - 19}}\,\right\rfloor} \implies m \leq \root{20m - 19} < m + 1 \\[5mm] & \implies m^{2} \leq 20m - 19 < m^{2} + 2m + 1 \implies \left\{\begin{array}{lcl} \ds{m^{2} - 20m + 19} & \ds{\leq} & \ds{0} \\ \ds{m^{2} - 18m + 20} & \ds{>} & \ds{0} \end{array}\right. \\[5mm] &\ \mbox{with solutions}\quad 1 \leq m <\ \underbrace{9 - \root{61}}_{\ds{\approx 1.1898}}\ \quad\mbox{or}\quad \underbrace{9 + \root{61}}_{\ds{\approx 16.8102}}\ < m \leq 19 \\[5mm] &\ \implies m \in \braces{1,17,18,19} \implies \bbx{x \in \braces{1,\root{321},\root{341},19}} \\ & \end{align} với $\ds{\root{321} \approx 17.9165}$ và $\ds{\root{341} \approx 18.4662}$. Vui lòng kiểm tra$\ds{\color{red}{x < 0}}$.
$$x^2 - 20 \lfloor x \rfloor + 19 = 0$$
Trực giác là các giải pháp không quá xa so với các giải pháp của $x^2-20x+19=0$, cụ thể là $x=1, 19$. Vì vậy, hãy tiếp tục và thể hiện trực giác đó! Tôi không quen với$x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$. Vì vậy, chúng ta hãy chuyển sang một phương pháp chi tiết hơn.
Để cho $n = \lfloor x \rfloor , u = x-n$. Vì thế$0\le u < 1$. $$(n+u)^2 - 20n + 19=0.$$ Mở rộng chúng tôi nhận được $$u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)=0.$$ Chúng ta biết rằng $u \in [0,1)$. Vì vậy, phương trình này phải có một nghiệm trong khoảng đó. Nó sẽ có hai? Điều đó có nghĩa là tổng của hai nghiệm này lớn hơn 0. Nhưng từ định lý Vieta thì không thể. Do đó, có đúng 1 nghiệm trong khoảng$[0,1)$. Nếu nghiệm đó chính xác là 0, thì$0^2 + 2n\cdot 0 + (n^2-20n+19)=0.$ Vì thế $n = 1,19$. Nếu không, chúng ta thấy rằng hàm$f_n(u) = u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)$ phải thay đổi dấu hiệu chính xác một lần trong khoảng thời gian $(0,1)$. Vì thế$f(0)f(1) < 0.$ Điều đó có nghĩa là $$(n^2-20n+19)(n^2-18n + 20)<0,$$ mà chúng tôi có thể tính: $$(n-19)(n-1)(n-1.1897..)(n-16.8102..) < 0.$$ (Trong thực tế, bạn không cần độ chính xác cao như vậy, bạn chỉ cần tính phần tích phân.) $n$ là một số nguyên, $n=17, 18.$ (Bạn có thể hiểu tại sao không? Tôi sẽ giải thích thêm khi có yêu cầu.)
Thay thế $n=17$ và $n=18$, chúng tôi nhận được phương trình cho $u$tương ứng. Và điều này trở thành phương trình bậc hai thông thường.
Từ $\lfloor x\rfloor=(x^2+19)/20\gt0$, chúng tôi thấy rằng chúng tôi phải có $x\gt0$, vì thế $x=\sqrt{20\lfloor x\rfloor-19}$(tức là, căn bậc hai dương, không phải âm). Nó theo sau đó$x^2-20\lfloor x\rfloor+19=0$ có một giải pháp (duy nhất) với $\lfloor x\rfloor=n\in\mathbb{Z}^+$ nếu và chỉ nếu $n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1$. Với mọi thứ trong tầm nhìn không tiêu cực, chúng tôi có
$$\begin{align} n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1 &\iff n^2\le20n-19\lt n^2+2n+1\\ &\iff n^2-20n+19\le0\lt n^2-18n+20 \end{align}$$
Bất đẳng thức bậc hai đầu tiên ở dòng cuối cùng cho chúng ta biết $1\le n\le19$; thứ hai cho chúng ta biết$n\lt9-\sqrt{61}$ hoặc là $n\gt9+\sqrt{61}$, mà, kể từ $7\lt\sqrt{61}$, cho chúng tôi biết $n\lt2$ hoặc là $n\gt16$. Do đó, chúng tôi có bốn giá trị cho$\lfloor x\rfloor=n$, cụ thể là $1$, $17$, $18$và $19$, với $20n-19$ cho các giá trị tương ứng của $x^2$. Tổng các ô vuông này là
$$(20\cdot1-19)+(20\cdot17-19)+(20\cdot18-19)+(20\cdot19-19)=20(1+54)-76=1024$$
(Thực tế là câu trả lời cuối cùng hóa ra là sức mạnh của $2$ chắc chắn là sự trùng hợp thuần túy.)