Giới hạn dưới cho biểu thức biến đổi Fourier

Question

Để cho $f,g \in L_2(\mathbb{R}) $, và để $\hat{f}$ và $\hat{g}$biểu thị Biến đổi Fourier của chúng. Tôi đang cố gắng tìm giới hạn thấp hơn cho tổng này:

$$ \left(\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, f^2(x) \, dx \int_{-\infty}^{\infty} k^2 \, \widehat{g}^2(k) \, dk \right)+ \left(\int_{-\infty}^{\infty} k^2 \, \hat{f}^2(k) \, dk \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \, g^2(x) \, dx \right).$$

(Nó xuất hiện trong một vấn đề trên PDE mà tôi đang làm việc). Tôi đã viết điều tương tự bên dưới bằng cách sử dụng$L_2$ định mức:

$$ \left(|| xf || \cdot ||k \hat{g}||\right) + \left(||k\hat{f}|| \cdot || xg|| \right) $$

Dự đoán ban đầu của tôi là sử dụng Nguyên tắc không chắc chắn, nhưng điều đó chỉ cung cấp giới hạn thấp hơn cho sản phẩm của$|| xf ||$ và $|| k \hat{f} ||$, điều này dường như không giúp được gì ở đây. Có bất kỳ danh tính nào về Biến đổi Fourier có thể giúp ích ở đây không? Có lẽ, danh tính về$\int x^2 f^2 + \int k^2 \hat{f}^2$? Bất kỳ trợ giúp / đề xuất sẽ được đánh giá rất cao. Cảm ơn!

Answer 1

Bất cứ gì $h\in L^2(\mathbb R)$, để cho $D(h)=\int_{\mathbb R} u^2|h(u)|^2du$.

Bạn đang tìm kiếm giới hạn thấp hơn cho $D(f)D(\hat g)+D(\hat f )D(g)$. Cần lưu ý rằng, không có bất kỳ ràng buộc nào đối với$f$ và $g$, giới hạn dưới là $0$ vì bạn có thể cắm vào $f=0$ hoặc là $g=0$. Trên thực tế, toàn bộ biểu thức tỷ lệ tuyến tính với$\|f\|$ Hoặc với $\|g\|$. Vì vậy, hãy giả sử rằng chúng tôi đã chuẩn hóa$f$ và $g$ vậy nên $\|f\|=\|g\|=1$.

Theo Nguyên lý Bất định, có một hằng số phổ quát $C>0$ như vậy cho tất cả $h\in L^2(\mathbb R)$ với $\|h\|=1$, $$D(h)D(\hat h)\geq C$$

Giá trị chính xác của $C$ phụ thuộc vào quy ước chuẩn hóa được thực hiện cho phép biến đổi Fourier (nó có thể là $\frac 1 {16\pi^2}$ hoặc là $\frac 1 {4\pi}$). Sự bình đẳng đạt được đối với các hàm Gaussian.

Với cái này, $$D(f)D(\hat g)+D(\hat f )D(g)\geq C\left(\frac{D(f)}{D(g)}+\frac{D(g)}{D(f)}\right)$$

Bên tay phải là iff tối thiểu $D(f)=D(g)$. Trong trường hợp đó, biểu thức cần tối thiểu hóa bằng$2D(f)D(\hat f)$, theo Nguyên tắc không chắc chắn, được giới hạn dưới $2C$, với sự bình đẳng đạt được bởi các hàm Gaussian.

Chúng tôi kết luận rằng giới hạn dưới là 2C, với sự bình đẳng đạt được khi $f$ và $g$ đều là các hàm Gaussian.