Gợi ý vấn đề USAMO.

Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại một số có n chữ số chia hết cho 5$^n$tất cả các chữ số của chúng là lẻ.
USAMO 2003.

Đây là lần đầu tiên tôi gặp sự cố như thế này nên tôi không biết phải làm gì, quy nạp, cấu tạo, kiểm tra các trường hợp nhỏ, mâu thuẫn là một số điều tôi đã thử.

Tôi biết tôi có thể dễ dàng tìm thấy một giải pháp ở bất cứ đâu nhưng tôi không muốn nhìn vào một giải pháp, vì vậy hãy đưa ra GỢI Ý .

TÔI ĐÃ ĐĂNG MỘT GIẢI PHÁP https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution TẠI ĐÂY, VUI LÒNG KIỂM TRA NGAY.

Vui lòng không đưa ra giải pháp đầy đủ, bất kỳ gợi ý nào sẽ được đánh giá cao.

Answer 1

Gợi ý: theo nhận xét của lulu, giả sử bạn đã hình thành một số $N$ với $n-1$ chữ số lẻ chia hết cho $5^{n-1}$. Hãy viết số này là$N = p\cdot5^{n-1}$. Sau đó, bạn muốn tìm một chữ số lẻ$a$ như vậy mà $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ cho một số số nguyên $k > 0$. Đây là sự thật iff$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$. Viết$a = 2m+1$, bạn có thể chứng minh rằng chúng tôi luôn có thể tìm thấy $m$? Cũng thế$m$ là mod $5$, và do đó $a$ là một chữ số.

Trường hợp cơ sở là hiển nhiên.