$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ cho mọi lý thuyết $T$, mọi hồng y $\lambda$.

Question

Để cho $T$ là một lý thuyết bậc nhất hoàn chỉnh.

Giả định $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, rõ ràng là $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? Câu hỏi đã được thúc đẩy khi xem phỏng đoán của Vaught trên wikipedia. Tôi không có nhiều kiến ​​thức về lý thuyết mô hình nên nó có thể hiển nhiên và tôi chỉ đang ngớ người hoặc nó có thể đang sử dụng công nghệ mà tôi chưa học. Hay điều này có lẽ chỉ đúng khi$\lambda = \aleph_0$ ?

Điều duy nhất tôi có thể nghĩ đến là đếm số lượng các mô hình không đẳng hình dựa trên loại mà chúng thỏa mãn, nhưng tôi không nghĩ rằng điều đó hoàn toàn hiệu quả.

Answer 1

Trong cài đặt mà bạn đang mô tả, có nhiều nhất $2^\lambda$ $L$-cấu trúc, và do đó chắc chắn không hơn $2^\lambda$ các lớp đẳng cấu của các mô hình của $T$.

Sửa một $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, và để $M$ là một tập hợp các tính chất $\lambda$.

Cho mỗi $n$ký hiệu chức năng -ary $f$ chúng ta phải giải thích $f$ như một chức năng $f : M^n \to M$. Có chính xác$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$nhiều chức năng như vậy để lựa chọn. Tương tự, đối với mỗi$n$ký hiệu quan hệ -ary chúng ta có $2^\lambda$ các tùy chọn để lựa chọn và đối với mỗi ký hiệu không đổi, chúng tôi chỉ có $\lambda$ các tùy chọn để lựa chọn.

Vì vậy, đối với mỗi ký hiệu trong ngôn ngữ, chúng ta có nhiều nhất $2^\lambda$các lựa chọn. Vì có nhiều nhất$\lambda$ ký hiệu trong ngôn ngữ, tổng số lựa chọn chúng ta phải thực hiện nhiều nhất là $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.