IMO 1998 - Tổ hợp

Question

Tôi đang thử bài toán Tổ hợp IMO này $1998$ P2 như sau:

Trong một cuộc thi, có $m$ thí sinh và $n$ thẩm phán, ở đâu $n \geq 3$là một số nguyên lẻ. Mỗi giám khảo đánh giá mỗi thí sinh là “đạt” hoặc “không đạt”. Giả sử$k$ là một con số sao cho đối với hai giám khảo bất kỳ, xếp hạng của họ ít nhất là trùng nhau $k$các thí sinh. Chứng minh rằng$$\frac{k}{m}\geq \frac{n-1}{2n}$$

Tôi hoàn toàn không biết làm thế nào để bắt đầu, bạn có thể cho tôi bất kỳ gợi ý?

Answer 1

Xem xét số lượng kết hợp $(\{j_1, j_2\},c)$, Ở đâu $\{j_1, j_2\}$ là một cặp giám khảo khác biệt, và $c$là một thí sinh mà họ đồng ý. Bạn có thể đến số lượng này theo hai cách:

1. Tổng số các thí sinh, số lượng các cặp giám khảo đồng ý về họ.

2. Tổng số các cặp giám khảo, số lượng thí sinh mà họ đồng ý.

Sau đó, đại lượng được tổng bằng 1. có thể được giới hạn bên dưới bởi một biểu thức liên quan đến $n$ (nhớ lại $n$ là số lẻ), trong khi số lượng được tính bằng 2. có thể được giới hạn ở trên bởi $k$. Kết hợp tạo ra bất bình đẳng mong muốn.