Infimum của phân vùng-set

Question

Để cho $A\neq \varnothing$ và biểu thị bằng $\operatorname{Part}(A)$ tập hợp các phân vùng của $A$. Đối với$S,S' \in\operatorname{Part}(A),$ chúng tôi đặt $$ S\leq S' :\!\!\iff \forall C \in S: \exists C'\in S': C\subseteq C'. $$

Để cho $T\subseteq \operatorname{Part}(A)$. Cho thấy$T$ có một sơ đồ liên quan đến $\leq$.

---

Tôi thực sự muốn cho thấy điều đó $$ \inf T = \left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : \forall S \in T, C_S\in S\right\}. $$

Tôi có được phép viết bài này mà không sử dụng Tiên đề lựa chọn không?

Nếu không, có cách nào khác để chứng minh sự tồn tại của $\inf T$, nếu có ở tất cả?

Answer 1

SKETCH: Đối với mỗi $S\in\operatorname{Part}(A)$ và $a\in A$ để cho $[a]_S$ là một phần của $S$ nó chứa $a$. Quan sát điều đó$S\le S'$ iff $[a]_S\subseteq[a]_{S'}$ cho mỗi $a\in A$. Được$T\subseteq\operatorname{Part}(A)$, cho mỗi $a\in A$ để cho $C_a=\bigcap_{S\in T}[a]_S$, và để $C=\{C_a:a\in A\}$.

• Cho thấy $C\in\operatorname{Part}(A)$. Rõ ràng là$\bigcup C=A$, vì vậy bạn chỉ cần thể hiện điều đó nếu $a,b\in A$và $C_a\ne C_b$, sau đó $C_a\cap C_b=\varnothing$.

Thông suốt $C_a\subseteq[a]_S$ cho mỗi $S\in T$, vì vậy tại thời điểm này, bạn có thể kết luận rằng $C\le S$ cho mỗi $S\in T$.

• Sau đó, hiển thị rằng nếu $L$ là giới hạn thấp hơn cho $T$, sau đó $L\le C$. Bạn có thể làm điều này bằng cách hiển thị rằng nếu$L$ là giới hạn thấp hơn cho $T$, thì nó phải đúng rằng $[a]_L\subseteq C_a$ cho mỗi $a\in A$.

Không điều nào trong số này yêu cầu tiên đề về sự lựa chọn.

Answer 2

Để cho $X=\left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : C_S\in S\right\}.$ Quan sát điều đó $X\in\operatorname{Part}(A)$.

Trước hết, chúng tôi cho thấy rằng $X\le S$, cho tất cả $S\in T$. Để cho$L\in X$, sau đó $L=\bigcap_{S\in T} C_S$, với $C_S\in S$. Chắc chắn,$L\subseteq C_S$ cho tất cả $S\in T$, đó có nghĩa là $X\le S$ cho tất cả $S\in T$. Vì thế$X$ là một giới hạn dưới.

Bây giờ chúng tôi cho thấy rằng $X$ là giới hạn dưới lớn nhất, tức là cho tất cả $Y\in\operatorname{Part}(A)$ như vậy mà $Y\le S$ cho tất cả $S\in T$, $Y\le X$. Giả sử$Y$ là một phần tử như vậy, và hãy $M\in Y$. Bây giờ, bởi vì$Y\le S$, cho tất cả $S\in T$, chúng ta có $M\subseteq C_S$, cho một số $C_S\in S$, cho tất cả $S\in T$. Chắc chắn$M\subseteq\bigcap_{S\in T}C_S$và $\bigcap_{S\in T}C_S\in X$. Vì thế$Y\le X$và $X$ là sơ đồ của $T\subseteq\operatorname{Part}(A)$.