Là $\frac{u}{|u|}$ 1- Lipschitz?

Question

Tôi muốn chứng minh rằng ứng dụng $\{s\in \mathbb{R}^3:|s|\geq 1\} \to S^2 ,u\mapsto \frac{u}{|u|}$ là Lipschitz với hằng số $1$. Nếu tôi thêm ($\frac{u|u|-u|u}{|u||v|}|$), Tôi thấy hằng số bằng $2$(định mức được sử dụng là định mức euclidien). Không phải nó$1$-Lipschitz?

Cảm ơn bạn

Answer 1

Nó là $1-$ Lipschitz. $|\frac u {|u|} -\frac v {|v|}|^{2}=1+1-2\frac {u.v} {|u||v|}$ và $|u-v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}-2u.v$ hoặc là $2(u.v) (1-\frac 1 {|u||v|}) \leq |u|^{2}+|v|^{2} -2$. Áp dụng bất đẳng thức CS, thuộc tính Lipschitz giảm xuống$2ab(1-\frac 1 {ab}) \leq a^{2}+b^{2}-2$ Ở đâu $a=|u|$ và $b=|b|$ và điều này giảm xuống $(a-b)^{2} \geq 0$ cái nào đúng.

Answer 2

Một bằng chứng sử dụng phép chiếu trên các tập lồi

$B_3$ quả bóng đơn vị đóng của $\mathbb R^3$là một tập con lồi đóng. Kết quả được yêu cầu bao gồm việc chứng minh rằng phép chiếu trên$S^2$ điểm trong $\mathbb R^3 \setminus B_3$ đang ký hợp đồng.

Một bằng chứng có thể được tìm thấy ở đây .

Bạn có thể bắt chước bằng chứng đó trong trường hợp đặc biệt của mình nếu bạn muốn.

Answer 3

Chứng minh hình học sử dụng định lý đánh chặn

Giả sử không mất tính tổng quát rằng $1 \le \vert u \vert \le \vert v \vert$ và biểu thị $v^\prime = v \frac{\vert u \vert}{\vert v \vert}$. Thông báo rằng$\vert v^\prime \vert = \vert u \vert$.

Sử dụng định lý đánh chặn cho các tam giác$0 \ \frac{u}{\vert u \vert }\ \frac{v}{\vert v \vert }$ và $0 \ u \ v^\prime$ bạn lấy

$$\begin{aligned} \vert u - v \vert^2&= \vert u - v^\prime\vert^2 + \vert v^\prime - v\vert^2 + 2 \langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle\\ &\ge \vert u - v^\prime \vert^2\\&= \vert u \vert^2 \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2\\ &\ge \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2 \end{aligned}$$

$\langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle \ge 0$ bởi vì $\angle u v^\prime v \ge \frac{\pi}{2}$.