Là $S^1$ hình nón $D^2$?

Question

Để cho $X$ là một không gian tôpô, hãy $Y=X \times [0,1]$ và $A=X \times \left \{ 0 \right \} \subset Y$. hình nón trên X là không gian$\left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \}$.

Bây giờ hãy để $X=S^1$, mục tiêu của tôi là chứng minh rằng hình nón trên $X$ là homeomorphic tới $D^2$, Ở đâu $D^2$ là đĩa đóng đơn nhất trong $\Bbb R^2$. Về cơ bản, hình nón này có được từ một hình trụ bằng cách co phần đế dưới đến một điểm.

Sử dụng tọa độ cực, chúng ta có thể thiết lập một bản đồ $f: \left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \} \rightarrow D^2$ định nghĩa là $f(\theta, \rho)= \rho(\cos \theta, \sin \theta)$.
Bản đồ này là sự liên tục, không phân biệt và mang tính sao lưu, nhưng làm thế nào để chứng minh đó là một phép đồng hình?

Answer 1

Để hiển thị $f$ là một homeomorphism mà không sử dụng compactness, bạn có thể xây dựng rõ ràng nghịch đảo của $f$, cụ thể là $$ g(x, y) = [t(x, y), \sqrt{x^2 + y^2}] $$ trong đó dấu ngoặc biểu thị lớp tương đương và $$ t(x, y) = \begin{cases} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & x = 0, y < 0\\ \arctan(y/x) & x > 0 \\ \pi + \arctan(y/x) & x < 0 \end{cases} $$ trong đó mỗi giá trị này được coi là một số (mod $2\pi$), do đó một phần tử của $S^1$.

Tính liên tục của $g$ khá rõ ràng ở mọi nơi ngoại trừ dọc theo $y$-axis. Đối với những người đó, bạn sẽ cần thể hiện rằng$g^{-1}(U)$ mở bất cứ khi nào $U$ là mở trong miền, có nghĩa là viết ra một cách để mô tả các bộ mở trong thương số, đó là một cơn đau ở cổ, nhưng bạn được hoan nghênh làm điều đó.