Là $Y - E[Y|X]$ độc lập với $X$?

Question

Đối với hai biến ngẫu nhiên bất kỳ $X$ và $Y$, Là $Y - E[Y|X]$ độc lập với $X$? Theo trực giác, tôi nghĩ nó nên như vậy, vì điều kiện nên bao gồm tất cả các khía cạnh của$X$ bị rối với $Y$.

Answer 1

Giả sử $Y \sim U(-1,1)$ và $X=Y^2$ sau đó $E[Y \mid X] \equiv 0$, nhưng $Y$ và $X$ chúng không độc lập.

Sự thật là như vậy $X$ và $Y-E[Y \mid X]$là không liên quan .

Nhân tiện, người ta có thể tạo ra một nhóm lớn các ví dụ giống như thế này bằng cách xem xét bất kỳ chức năng tăng nghiêm ngặt nào $f : [0,\infty) \to \mathbb{R}$ (có thể đo lường tự động Borel), về cơ bản là bất kỳ $Y$ với phân phối đối xứng về $0$và $X=f(|Y|)$. (Tôi sử dụng từ "về cơ bản" vì tất nhiên người ta phải cho rằng$E[Y]$ tồn tại.)

Answer 2

Chúng luôn luôn không liên quan, thực sự

$$ Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X]) = Cov(X,Y) - Cov(X,\mathbb E[Y|X]) $$

Viết lại như mong đợi và sử dụng thuộc tính tháp và $X$ khả năng đo lường của $X$, chúng tôi nhận được $$Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X])= \mathbb E[XY] - \mathbb E[X]\mathbb E[Y] - \mathbb E[X\mathbb E[Y|X]] + \mathbb E[X]\mathbb E[\mathbb E[Y|X]]=0$$

Nhưng lấy $X \sim \mathcal N(0,1)$, $\varepsilon = \pm 1$ với xác suất $\frac{1}{2}$ độc lập khỏi $X$ và $Y=\varepsilon X$, bạn sẽ nhận được $\mathbb E[Y|X] = 0$ gần như chắc chắn, nhưng $X$ và $Y$ không độc lập (xem xét $X \in (0,1) , Y \in (1,2)$)