Linkage và Cohen-Macaulay-ness

Question

Giả sử tôi có một lược đồ lci giảm với hai thành phần bất khả quy: $X = Y \cup Z$. Tôi muốn nói rằng nếu$Y$ sau đó là Cohen-Macaulay $Z$ là tốt.

Tôi nghĩ điều này tuân theo Định lý Eisenbund 21.23 (có lỗi đánh máy: định lý đầu tiên $J = (0:_A I)$Nên được xoá). Hoặc từ Peskine và Szpiro, "Liaison des variétés algébriques," Mệnh đề 1.3, về cơ bản là giống nhau.

Tôi có hiểu đúng không?

Answer 1

Câu hỏi mang tính địa phương. Vì vậy hãy$R$ là một chiếc nhẫn địa phương là Gorenstein. $I,J\subset R$ định nghĩa $Y,Z$như trong câu hỏi của bạn. Sau đó, bạn có một trình tự chính xác$0\to I\to R\to R/I\to 0$ và chúng tôi đang giả định rằng $R/I$là Cohen-Macaulay. Chú ý rằng tất cả$R,R/I,R/J$ có cùng chiều $d$. Dualizing, một người được$0\to\omega_{R/I}\to R\to R/J\to 0$. Điều này ngụ ý rằng chiều sâu của$R/J\geq d-1$. Bằng cách chuyển sang mô-đun một tập hợp chung của$d-1$ các yếu tố trong lý tưởng tối đa, người ta có thể giảm xuống trường hợp $d=1$. Bây giờ kép lại một lần nữa để có được,$0\to \operatorname{Hom}_R(R/J,R)\to R\to R/I\to\operatorname{Ext}^1_R(R/J,R)\to 0$. Rõ ràng là do tự nhiên, rằng bản đồ$R\to R/I$là vào và do đó máy lẻ là 0. Điều này nói lên rằng độ sâu của$R/J>0$ đó là những gì chúng tôi muốn.

Answer 2

Tôi không có quyền truy cập vào tài liệu tham khảo của bạn nhưng ở đây, dường như đối với tôi, là một ví dụ ngược lại. Lấy một bề mặt tứ giác mịn$Q$ trong $\mathbb P^3$, một đường cong mượt mà $C$ trong $Q$ của bidegree $(1,3)$ và một đường cong mượt mà khác $D$ trong $Q$ của bidegree $(3,1)$. Mỗi$C,D$ là một phần tư xoắn trong $\mathbb P^3$. Lấy$Y,\ Z$ và $X$ trở thành tế bào hình nón kết thúc $C,\ D$ và $C\cup D$, tương ứng. $C\cup D$ là một $(2,4)$ hoàn thành giao lộ trong $\mathbb P^3$, vì thế $X$ là lci Hơn nữa, $X=Y\cup Z$, trong khi $Y,Z$ là hình nón trên tứ phân xoắn, vì vậy không phải Cohen - Macaulay.