Mở rộng logarit trong miền âm

Question

Tôi đang cố gắng mở rộng một số chức năng $f(z,\bar{z})$ chứa logarit cho $z = x + i k x$ với $x<0$, nhưng kết quả không phải lúc nào cũng nhất quán. Ví dụ đơn giản, hãy xem xét đoạn mã sau:

Log[16*z*zb] /. {z -> x + 4 I*x, zb -> x - 4 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 5 I*x, zb -> x - 5 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 6 I*x, zb -> x - 6 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 7 I*x, zb -> x - 7 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 8 I*x, zb -> x - 8 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal
Log[16*z*zb] /. {z -> x + 9 I*x, zb -> x - 9 I*x};
Assuming[x < 0, Series[%, {x, 0, 0}]] // Normal

Đầu ra như sau:

4 Log[2] + Log[17] + 2 Log[-x]
5 Log[2] + Log[13] + 2 Log[-x]
4 Log[2] + Log[37] + 2 Log[-x]
Log[800 x^2]
Log[1040 x^2]
5 Log[2] + Log[41] + 2 Log[-x]

Tại sao phần mở rộng trông khác với $k=7,8$? Tôi cần những bản mở rộng đó có cùng hình thức với những bản khác. Tôi quan sát hành vi tương tự đối với$k=12,13$nhưng tôi không thể hiểu tại sao. Bất kỳ ý tưởng?

Answer 1

Không rõ bạn đang cố gắng hoàn thành điều gì. Kết quả cho tùy ý nlà

Clear["Global`*"]

f[n_] = Assuming[x < 0,
  (Series[
      Log[16*z*zb] /. {z -> x + n I*x, zb -> x - n I*x},
      {x, 0, 0}] // Normal) // FullSimplify]

(* Log[16 (1 + n^2) x^2] *)

Nếu bạn muốn nó được mở rộng

(f /@ Range[4, 13] // PowerExpand) /. x -> -x

(* {4 Log[2] + Log[17] + 2 Log[-x], 5 Log[2] + Log[13] + 2 Log[-x], 
 4 Log[2] + Log[37] + 2 Log[-x], 5 Log[2] + 2 Log[5] + 2 Log[-x], 
 4 Log[2] + Log[5] + Log[13] + 2 Log[-x], 5 Log[2] + Log[41] + 2 Log[-x], 
 4 Log[2] + Log[101] + 2 Log[-x], 5 Log[2] + Log[61] + 2 Log[-x], 
 4 Log[2] + Log[5] + Log[29] + 2 Log[-x], 
 5 Log[2] + Log[5] + Log[17] + 2 Log[-x]} *)

Đang xác minh,

Assuming[x < 0, % == (f /@ Range[4, 13]) // FullSimplify]

(* True *)

Answer 2

Tôi chỉ tìm thấy giải pháp. Logarit có thể được mở rộng bằng cách sử dụng PowerExpandvới Assumptions->x<0. Sau đó, việc mở rộng có thể được thực hiện như bình thường và kết quả như mong muốn.