Mỗi singleton trong Postman Metric Space đều được thiết lập?

Question

Đây là một câu hỏi từ Metric Spaces của Jain và Ahmad.

Trong không gian hệ mét$(\mathbb R^2, d)$ Tôi cần tìm xem mọi bộ singleton có được mở hay không, ở đâu

$d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$

cho $x=(x_1, x_2)$ và $y=(y_1, y_2)$ trong $\mathbb R^2$

Cố gắng của tôi Tôi biết rằng hình cầu mở có tâm ở bất kỳ$x\in \mathbb R^2$sẽ là một hình vuông mở và nó sẽ không được chứa trong tập singleton được xem xét, nhưng câu trả lời nói rằng mọi singleton thực sự sẽ là một tập mở, ngoại trừ {0}. Xin vui lòng giúp đỡ.

Answer 1

Đây là một sai lầm trong cuốn sách. Như bạn đã tìm thấy chính xác, đối với số liệu$$d^{\ast\ast}(x,y) = \lvert x_1 - y_1\rvert + \lvert x_2 - y_2\rvert$$các quả bóng mở là các hình vuông mở (với các đường chéo song song với các trục tọa độ). Số liệu này tạo ra cấu trúc liên kết chuẩn về$\mathbb{R}^2$, do đó không có tập hợp hữu hạn nào được mở. Tên phổ biến cho số liệu này là$\ell^1$-metric (vì nó được tạo ra bởi $\ell^1$-norm), số liệu Manhattan (vì Manhattan hơi nổi tiếng với mạng lưới đường ít nhiều hình chữ nhật, vì vậy khoảng cách người ta phải đi giữa hai điểm là tổng của khoảng cách bắc nam và khoảng cách đông tây) hoặc số liệu Taxicab .

Họ có thể dự định cung cấp số liệu là $$d^{\ast\ast}(x,y) = \begin{cases}\qquad 0 &\text{if } x = y \\ \lVert x\rVert + \lVert y\rVert &\text{if } x \neq y \end{cases}$$ Ở đâu $\lVert\,\cdot\,\rVert$ là một tiêu chuẩn trên $\mathbb{R}^2$ (thường là người Euclide, hay còn gọi là $\ell^2$, định mức). Chỉ số này có thuộc tính đã nêu, cho$x \neq 0$ và $0 < r < \lVert x\rVert$ quả bóng mở $B_r(x)$ là singleton $\{x\}$.

Chỉ số thứ hai này - theo ý kiến ​​của tôi là không phù hợp - còn được gọi là chỉ số Đường sắt Anh, chỉ số SNCF hoặc chỉ số bưu điện . Những cái tên này không phù hợp, bởi vì nếu hai điểm nằm trên cùng một đường thẳng, người ta không cần phải đi qua London hoặc Paris tương ứng để đến đích, trong khi số liệu cho biết người ta phải làm như vậy.

Một cái tên phù hợp hơn, theo đó tôi bắt gặp số liệu này lần đầu tiên, nhưng tiếc là dường như không được phổ biến, đó là số liệu của những người đánh cá Gaul . ("Das Meer? Was hat denn das Meer mit meinen Fischen zu tun?" Bản dịch của tôi: "Biển? Biển liên quan gì đến con cá của tôi ?"; Bởi vì anh ấy mua cá cho cửa hàng của anh ấy ở Paris chứ không phải câu cá ở biển ngay sau ngôi làng như Asterix gợi ý.)