Monomorphisms giữa các đồ thị vô hạn

Question

Tôi thực sự tò mò về câu hỏi này:

Để cho $G(V_G,E_G)$ và $H(V_H,E_H)$ là đồ thị vô hạn (vô hạn !, không hữu hạn), sao cho $$|V_G|=|V_H|,$$ và để $f$, $g$ là chức năng $f: G\rightarrow H$, $g: H\rightarrow G$ như vậy mà $$\text{$f$ and $g$ are monomorphisms}.$$

Theo thông tin đã cho, có đúng như vậy không $G$ và $H$ là đồng phân cấu tạo?

Từ thông tin đã cho, $G$ là đẳng cấu với một đồ thị con của $H$và $H$ là đẳng cấu với một đồ thị con của $G$. Nếu$f$ hoặc là $g$ không phải là một đẳng cấu, sau đó $G$ là một tiểu đoạn thích hợp của chính nó và $H$là một tiểu đoạn thích hợp của chính nó. Điều này dường như không tạo ra mâu thuẫn.

Answer 1

Không. Ví dụ, hãy $G$ là một đồ thị hoàn chỉnh trên một tập hợp vô hạn và để $H$ là một sự kết hợp rời rạc của $G$và một đỉnh nữa. Sau đó, có một sự đơn hình rõ ràng$G\to H$, và cũng có một đơn hình $H\to G$ (chỉ cần thực hiện bất kỳ phép tiêm nào trên các đỉnh và nó tự động là một phép đồng cấu vì $G$hoàn tất). Tuy nhiên,$G$ và $H$ không phải là đẳng cấu.