Nghịch đảo phải khi và chỉ nếu lên

Aug 16 2020

Tôi đang cố gắng chứng minh kết quả sau đây.

Chứng minh rằng$f: X \to Y$là trên khi và chỉ nếu nó sở hữu một nghịch đảo phải. Sau đó chứng minh rằng nghịch đảo này không nhất thiết là duy nhất (nghĩa là khi$f$không phải là thuốc tiêm).

Đây là những gì tôi nghĩ ra, mặc dù cụ thể, "bằng chứng" về sự thiếu độc đáo của tôi không chặt chẽ lắm.

Bằng chứng. Giả sử$f: X \to Y$là khách quan. Để cho$y \in Y$, vậy tồn tại$x \in X$như vậy mà$f(x) = y$. Mặc dù điều này$x$có thể không phải là duy nhất, chúng tôi xác định ánh xạ$g: Y \to X$theo quy tắc$g(y) = x$, sử dụng Tiên đề lựa chọn. Đối với bất kỳ như vậy$y$với tài sản mà$g(y) = x$, chúng ta có:$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$vì thế$f \circ g = i_Y$, và$g$là một nghịch đảo bên phải. Ngược lại, giả sử$f$sở hữu một nghịch đảo bên phải,$g: Y \to X$với tài sản mà$f \circ g = i_Y$. Để cho$y \in Y$. sau đó$g(y) = x$cho một số$x \in X$. Sau đó, chúng tôi quan sát thấy rằng$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$vì thế$f$là khách quan. Nghịch đảo phải này không phải là duy nhất bởi vì chúng ta cần gọi Tiên đề lựa chọn để xác định$g(y) = x$cho một số$x$. trong trường hợp$f$không phải là tiêm, đưa ra bất kỳ$y \in Y $, có khả năng là vô số$x$như vậy mà$f(x) = y$, và chúng ta có thể định nghĩa$g(y)$bằng với bất kỳ x nào trong số đó, mỗi x sẽ cho một nghịch đảo bên phải có giá trị như nhau.

Bằng chứng này trông như thế nào? Đây có phải là một sử dụng thích hợp của sự lựa chọn? Có cách nào để làm cho bằng chứng thiếu tính duy nhất chặt chẽ hơn không?

Cảm ơn trước.

Trả lời

2 AliasK Aug 16 2020 at 06:33

Nếu và chỉ nếu bằng chứng của bạn có vẻ khá tốt với tôi. Tuy nhiên, bằng chứng không duy nhất của bạn hơi mỏng manh.

Để chứng minh tính không duy nhất, chỉ cần đưa ra ví dụ là đủ (và hầu như luôn luôn dễ dàng hơn). Bạn có thể đưa ra bất kỳ ví dụ nào nhưng đây là ví dụ đầu tiên xuất hiện trong đầu tôi.

Giả sử rằng$X=\mathbb{R}^2$$Y=\mathbb{R}$với$f:X\to Y$hiện tại$f(x,y)=x$. Rõ ràng chức năng này là trên. Bây giờ xác định bản đồ sau$S_1:Y\to X$qua$S_1(x)=(x,0)$. Sẽ không mất nhiều thời gian để thuyết phục bạn rằng$f(S_1(x))=i_Y$.

Ngoài ra bản đồ$S_2:Y\to X$Được định nghĩa bởi$S_2(x)=(x,x)$cũng sẽ cho$S_2(f(x))=i_Y$. Nhưng mà$S_1\neq S_2$vì vậy chúng tôi đã chỉ ra rằng có hai hàm tạo ra kết quả mong muốn không giống nhau (và do đó hàm nghịch đảo không nhất thiết phải là duy nhất).