Nhiều vụ nổ

Question

Giả sử tôi xem xét, bên trong $\mathbb{P}^6$, các loại phụ $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ và $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

Tôi muốn hiểu vụ nổ là gì $\mathbb{P}^6$ dọc theo $Y,Z$. Sau cuốn sách Hình học Đại số của Harris, tôi bắt đầu từ$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: lý tưởng của $Y$ Là $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$và do đó tôi có một bản đồ hợp lý

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ và $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ là giống khép kín được liên kết với biểu đồ của $\phi$.

Bây giờ tôi muốn nổ tung $\mathbb{P}^6$ dọc theo $Z$, do đó tôi cho rằng tôi cần phải học

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

và ở đây tôi có một số câu hỏi:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? Tôi đoán vậy vì tôi đang lặp lại quy trình trên, vì vậy tôi đã tự hỏi liệu một chuỗi$n$-blow up chẳng hạn sống trong một sản phẩm của cartesian $n+1$-không gian mục tiêu (thay vì rõ ràng tôi có thể nhúng chúng qua bản đồ Segre);
• Tôi có thể đồng thời nổ tung không $\mathbb{P}^6$ dọc theo $Y,Z$? Tôi có được xây dựng giống nhau không?
• (Liên kết với câu hỏi ở trên): điều gì sẽ xảy ra nếu $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. Có, bạn có thể làm điều này - bất cứ khi nào bạn làm nổ tung thứ gì đó (cục bộ) bị cắt ra bởi $d$ phương trình bên trong $X$, bạn có thể nhúng đầu nổ của mình vào sản phẩm $X\times\Bbb P^{d-1}$. Điều này tiếp theo từ mô tả của vụ nổ như một phương án tương đối:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$và cục bộ trên $X$ chúng tôi nhận được một sự từ chối $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ mà (sau khi dán) tương ứng với một lần ngâm kín $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. Có, nếu $Y,Z$ là hai tiểu tổ hợp khép kín rời rạc sau đó là tất cả các đòn đánh $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ và $Bl_{Y\cup Z} X$giống nhau. Điều này có thể được xác minh cục bộ, vì các vụ nổ là các phép đồng phân khác với thứ mà bạn cho nổ.
3. Nó chỉ ra rằng một phần kết luận của chúng tôi từ 2 đúng khi chúng tôi khái quát một cách thích hợp: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(đây là Bổ đề IV-41 trong Eisenbud và Harris ' The Geometry of Schemes ). Lưu ý rằng đây là biến đổi tổng, không phải biến đổi nghiêm ngặt - các biến đổi nghiêm ngặt nhạy cảm với thứ tự. Điều này có bằng$Bl_{Y\cup Z}(X)$ có lẽ nên phụ thuộc vào cách $Y$ và $Z$ giao nhau, nhưng tôi không có sẵn các ví dụ hướng dẫn ngay bây giờ và về cơ bản, tất cả lý thuyết chung để giải quyết các điểm kỳ dị được phát triển giả sử một luồng gió thổi dọc theo một tâm nhẵn, điều này sẽ đưa bạn trở lại tình huống của 2.