Phân phối số lượng va chạm tối đa
Được $n$ thùng và $m$ném từng quả bóng vào một thùng được chọn ngẫu nhiên đồng nhất. Mỗi lần ném là độc lập.
Sự phân bố của số lượng va chạm tối đa (tức là số lượng bóng tối đa trong một thùng) là bao nhiêu?
Để cho $X_{ij}$ là một biến ngẫu nhiên chỉ báo biểu thị liệu quả bóng $i$ vào thùng $j$; chúng ta có:$$ \mathbb{E}[X_{ij}] = \Pr(X_{ij} = 1) = \frac1n $$
Để cho $Y_j$ đếm số quả bóng trong thùng $j$ sau $m$ném; chúng ta có:$$ Y_j \sim \mathsf{Binomial}\left( m, \ \frac1n \right) $$ $$ \mathbb{E}[Y_j] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{m}X_{ij}\right] = \sum_{i=1}^{m}\mathbb{E}[X_{ij}] = \frac{m}{n} $$
Để cho $Z$ là số bóng tối đa trong một thùng sau $m$ ném, đó là: $$ Z = \max_{1\leq j \leq n} Y_j = \max_{1\leq j \leq n} \sum_{i=1}^{m}X_{ij} $$ $$ \frac{m}{n} \leq Z \leq m $$
Tôi muốn tìm sự phân phối của $Z$, đặc biệt đối với trường hợp khi $n = m$.
Đây là tải trọng tối đa cho bài toán phân bổ ngẫu nhiên.
Wikipedia có ràng buộc chặt chẽ về$\mathbb{E}[Z]$ khi nào $n = m$ như: $$ \mathbb{E}[Z] = \Gamma^{-1}(n) - \frac32 + o(1) $$
Tuy nhiên, tôi muốn tìm bản phân phối thực tế, nếu có thể.
Một cách tiếp cận khả thi mà tôi đã lưu ý là đưa ra các định nghĩa ở trên cho các biến ngẫu nhiên, tôi phải tìm phân phối của $\left( Z \ \big| \ S = n \right)$ là ở đâu: $$ S = \left ( \sum_{j=1}^{n} Y_j \right) \sim \mathsf{Binomial}\left(n^2, \frac1n\right) $$
Và kể từ khi $n=m$ chúng tôi có cái đó $1 \leq Z \leq n$, sau đó tôi cho rằng tôi có thể tính toán: $$ \Pr(Z=k \ | \ S=n), \ k \in \overline{1,\dots,n} $$
Đây có phải là một hướng đi tốt?
Trả lời
Bạn đang yêu cầu phân phối thống kê thứ tự tối đa của các biến ngẫu nhiên đa thức với xác suất bằng nhau. Google "thống kê đơn hàng đa thức" cung cấp nhiều thông tin có liên quan.
Có vẻ như không có một hàm khối lượng xác suất dạng đóng, hãy xem : Tính toán phân phối chính xác của một số hàm của các số đếm đa thức có thứ tự: tối đa, tối thiểu, phạm vi và tổng của thống kê theo thứ tự , bởi Marco Bonetti, Pasquale Cirillo và Anton Ogay (Tháng 10 năm 2019, Hiệp hội Hoàng gia).
"Trong việc kiểm tra giả thuyết khả năng tương đương, tất cả các số liệu thống kê ở trên đều dựa trên các phép gần đúng (như Bình thường, $\chi^{2}$, Beta, Dirichlet hoặc Gumbel), là bản phân phối chính xác của chúng không được biết đến. "
*** Bài báo của họ giả định khả năng tương đương và thảo luận về các thuật toán để tính toán phân phối của cực đại (phương trình 4.1) cũng như các phép gần đúng. Đây dường như là điều tốt nhất mà bất kỳ ai trên thế giới này biết cách làm. Cài đặt$n=m$ Có lẽ dường như không phải là bất kỳ trường hợp đặc biệt nào khi mọi thứ đơn giản hóa. ***
(Đóng góp chính của họ là: "chúng tôi trình bày các thuật toán chung mới để tính toán các phân phối chính xác của tối thiểu đa thức, của phạm vi và tổng của $J$ thống kê đơn hàng lớn nhất. ")