Phép đồng phân đại số C *

Question

Tôi có hai vợ chồng $C^*$ đại số $A$ và $B$. Để cho$X\subset A$ và $Y\subset B$ được như vậy khoảng $X$ và kéo dài $Y$ là đại số con * dày đặc của $A$ và $B$tương ứng. Tôi có một bản đồ$\Psi: Span ~X \to Span ~Y$đó là một * -homomorphism. Ngoài ra tôi có một bản đồ$\Phi: Span ~Y \to Span ~X $ như vậy mà $\Phi\circ \Psi=id$. Tôi có thể kết luận rằng$\Psi$ mở rộng đến một đẳng cấu giữa $A$ và $B$?

Answer 1

Không phải bởi vì $\Psi$có thể không thành một cơn co. Để cho$A=B=C[0,2]$và $X=\mathbb C[x]$, $Y=\mathbb C[x^3]$. Cả hai đều dày đặc bởi Stone-Weierstrass. Để cho$\Psi:X\to Y$ được đưa ra bởi $(\Psi f)(x)=f(x^3)$. Sau đó$\Psi$ là một vật không thể đảo ngược $*$-hình hình. Và với$f(x)=x^n$, $$\frac{\|\Psi f\|}{\|f\|}=\frac{2^{3n}}{2^n}=4^n.$$ Vì thế $\Psi$ là không bị ràng buộc.