Sản phẩm nhóm hoán vị

Question

Để cho $E,F$ là hai không gian vectơ và $\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}} \to F$ a $p$-bản đồ tuyến tính. Nếu$\sigma$ là một hoán vị trên $S_{p}$, sau đó chúng ta có thể xác định một $p$-bản đồ tuyến tính $\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}}\to F$ bởi: $$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

Bây giờ, cuốn sách của tôi nói rằng nếu $\tau, \sigma$ là hai hoán vị, sau đó: $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$ Tuy nhiên, theo tính toán của tôi: $$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$ từ $[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$. Lỗi của tôi ở đâu?

Answer 1

Có một sai lầm khi bạn viết

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

Bạn có

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

Do đó, sự bình đẳng của cuốn sách của bạn $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$

Answer 2

Nói chung là không đúng như vậy $\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$ - điều này chỉ áp dụng nếu $\tau$ và $\sigma$ đi làm $S_p$. Lấy ví dụ$p=3$, $\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$. Sau đó$$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

Điều gì đúng là khi đánh giá $\sigma\tau\phi$ (ví dụ), trước tiên bạn có thể đăng ký $\tau$ đến $\phi$ và cuối cùng áp dụng $\sigma$hoặc bạn có thể nộp đơn trước $\sigma$ đến $\tau$ và sau đó áp dụng hoán vị kết hợp này ($\sigma\tau$) đến $\phi$.