Smash Product as Pullback?

Question

Khi xem xét $\mathsf{Hom}$-functor

$$ \mathsf{Hom}_*: \mathsf{Set}_*^{\text{op}} \times \mathsf{Set}_* \to \mathsf{Set}_* $$

Tôi cảm thấy phần nào rõ ràng rằng phần tiếp giáp bên trái là sản phẩm đập vỡ

$$ (X,x_0) \wedge (Y,y_0) = (X\times Y) / [(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\} \times Y)]. $$

Tôi cảm thấy điều này tương đối dễ hiểu vì nếu $F$ là tiếp giáp bên trái, sau đó

$$ \mathsf{Set}_*\left [(X,x_0), \mathsf{Hom}_*\left ((Y,y_0), (Z,z_0)\right ) \right ] \;\; \cong \;\; \mathsf{Set}_*\left [F((X,x_0), (Y,y_0)), (Z, z_0) \right ] $$

có nghĩa là $F((X,x_0), (Y,y_0))$ là một tập hợp nhọn và tương ứng chính xác với các ánh xạ không đổi trên tất cả các cặp có dạng $(x,y_0)$ và $(x_0,y)$ cho tất cả $x\in X, y\in Y$.

Bây giờ, câu hỏi của tôi bắt nguồn từ cuốn sách của Riehl, nơi cô ấy tuyên bố rằng câu nói này có thể được diễn đạt theo cách phân loại sao cho $\mathsf{Set}$ có thể được thay thế bởi bất kỳ danh mục đóng cửa theo cacte nào.

Sản phẩm smash có thể được mô tả như một pullback không? Nói cách khác, chúng ta có sơ đồ giao hoán sau:

$$ \require{AMScd} \begin{CD} (X,x_0)\wedge (Y,y_0) @>>> X \\ @VVV @VVV \\ Y @>>> X\times Y \end{CD} $$

trong đó hai chân đầu tiên là hình chiếu và hai chân tiếp theo là bao hàm của hình thức $i_{y_0}:X\to X\times Y$ được cho bởi $i_{y_0}(x) = (x,y_0)$ và tương tự, $i_{x_0}:Y\to X\times Y$ được cho bởi $i_{x_0}(y) = (x_0,y)$? Hãy cho tôi biết nếu logic của tôi xuất hiện âm thanh và nếu không, tôi nên thực hiện theo hướng nào. Ở đâu

Answer 1

Trong loại tập hợp nhọn, điểm $x_0\in X$ tương ứng với một biến hình $x_0 : * \to X$. Với hai bộ nhọn, bạn có thể tạo ra$$ \require{AMScd} \begin{CD} * @>>> X \\ @VVV@VVV \\ Y @>>> X \vee Y \end{CD} $$ nơi bạn xác định hai điểm $x_0,y_0$ trong một cái duy nhất trong liên hiệp rời rạc $X\sqcup Y$.

Bây giờ, hãy quan sát điều đó $X\vee Y$ là một tập hợp con (nhọn) của $X\times Y$: nó xác định cho tập hợp con $(\{x_0\}\times Y)\times (X\times\{y_0\})$ (đơn giản vì hai điểm phân biệt trở thành một điểm $(x_0,y_0)$ trong $X\vee Y$).

Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn lấy thương số của $X\times Y$ bởi $X\vee Y$? Đây chính xác là sản phẩm tuyệt vời của$X$ và $Y$. Nhưng đồng thời, đây cũng là sự thúc đẩy$$\require{AMScd} \begin{CD} X\vee Y @>>> X\times Y \\ @VVV@VVV \\ * @>>> X\land Y \end{CD} $$ Điều này hoạt động hoàn toàn giống nhau trong mọi danh mục có đối tượng bằng không và tất cả các đối tượng đẩy: ví dụ trong danh mục không gian tôpô nhọn.

Thực tế thú vị là nếu danh mục của bạn, chẳng hạn như danh mục của các nhóm abelian, thì "sản phẩm phá vỡ" ở đó là đối tượng 0, bởi vì $X\vee Y\cong X\times Y=X\oplus Y$.

Vì vậy, bạn có thể coi sản phẩm đập vỡ như một thước đo cho sự thất bại của sản phẩm và sản phẩm đồng dạng là đồng phân: thương số càng lớn $\frac{X\times Y}{X\vee Y}$, Hơn nữa các loại môi trường xung quanh là khỏi phải biproducts .