Tìm một đại lượng bất biến

Question

Tất cả các đỉnh, ngoại trừ một (nói $v$) của một $12$-gon được đánh dấu $+1,$ và $v$ Chấm điểm $-1.$ Ở mỗi bước, chúng ta có thể chọn $3$các đỉnh kề nhau và thay đổi dấu hiệu của chúng.
Có thể có mọi đỉnh được đánh dấu$+1$ ngoại trừ một cái liền kề với $v?$

Tôi đã cố gắng chứng minh rằng điều đó là không thể bằng cách tìm kiếm bất biến, và cũng đã cố gắng chứng minh rằng điều đó là có thể, nhưng không thành công.

Answer 1

Gợi ý: tô màu các đỉnh là đỏ, lục và lam theo mô hình lặp lại, để có bốn đỉnh của mỗi màu cách đều nhau xung quanh hình dodecagon. Để cho$R$ là số đỉnh màu đỏ là $+1$, tương tự cho $G$ và $B$. Mỗi động thái ảnh hưởng như thế nào$R, B$ và $G$? Là gì$R,B,G$ban đầu? Những số lượng này sẽ trở thành gì nếu bạn thành công?

Answer 2

Giải pháp của tôi là một chút gian lận. Đó là một giải pháp không cơ bản (ý tưởng cốt lõi về cơ bản là một số đại số tuyến tính) được hiển thị trong một ánh sáng sơ cấp.

Giả sử điều này là có thể. Sau đó, soạn bài này với “lật” tập trung vào người hàng xóm của$v$, chúng tôi tìm thấy một cấu hình mà chỉ một dấu đỉnh được thay đổi (hàng xóm khác của hàng xóm đã nói).

Vì vậy, câu hỏi đặt ra là - với các phép toán được phép, chúng ta có thể đảo ngược một dấu hiệu không?

Nếu điều này có thể thực hiện được, thì chúng tôi có thể đạt được bất kỳ cấu hình nào từ bất kỳ cấu hình bắt đầu nào bằng cách áp dụng các động thái được ủy quyền lặp đi lặp lại.

Bây giờ, có $2^{12}$ cấu hình có thể có, vì vậy điều này có nghĩa là có chính xác $2^{12}$ trình tự có thể của các bước di chuyển làm những việc khác nhau.

Cho rằng tất cả các "bước di chuyển cơ bản" đều đi làm và là bất kỳ hành động nào, bất kỳ chuỗi di chuyển nào cũng tạo ra kết quả giống như $f_{i_1}\ldots f_{i_p}$ Ở đâu $1 \leq i_1 < \ldots < i_p \leq 12$ và $f_k$ là động thái lật dấu hiệu của đỉnh $k$và các nước láng giềng. Các trình tự như vậy được gọi là trình tự R.

Một lần nữa, phải có $2^{12}$ $R$-các chuỗi tạo ra các kết quả khác nhau và có chính xác $2^{12}$ $R$- trình tự. Vì vậy, hai khác nhau$R$- các trình tự phải tạo ra các kết quả khác nhau.

Tuy nhiên, sự khác biệt $R$-câu lệnh $f_1f_2f_4f_5f_7f_9f_{10}f_{11}$ và dãy trống tạo ra cùng một kết quả và chúng tôi nhận được một sự mâu thuẫn.