Tìm số nhỏ nhất có thể chèn

Question

Hãy nói một số $n$ có thể chèn nếu cho mọi chữ số $d$, nếu chúng tôi chèn $d$ giữa hai chữ số bất kỳ của $n$, thì số thu được là bội số của $d$. Ví dụ,$144$ không thể chèn bởi vì $1474$ không chia hết cho $7$.

Câu hỏi là tìm số nguyên dương nhỏ nhất có thể chèn được có ít nhất hai chữ số.

Tương đối dễ dàng thấy rằng một số như vậy phải chia hết cho $2520$ (giả sử nó ít nhất là $4$-digits dài). Tôi cũng đã chạy một tập lệnh để kiểm tra tất cả các số nguyên dưới 75.000.000.000 nhưng không thành công (vấn đề có thể là do mã của tôi).

Tuyên bố từ chối trách nhiệm. Tôi không biết liệu một số như vậy có tồn tại hay không.

Answer 1

Để cho $a_m....a_1a_0$là bất kỳ số có thể chèn. Sau đó, với mỗi chữ số$d$ chúng ta phải có $$a_m..a_kda_{k-1}..a_0$$ là bội số của $d$.

Đặc biệt, $$d| a_m..a_kda_{k-1}..a_0-a_m..a_ka_{k-1}d..a_0=10^{k-1}9(d-a_k)$$

Từ $7$ là chữ số tương đối nguyên tố duy nhất với $10$ và $9$, chúng ta nên tập trung vào $d=7$.

$d=7$ ngụ ý rằng $a_k=0,7$ cho tất cả $k$.

Kế tiếp, $d=9$ngụ ý rằng con số phải chứa ít nhất 9 lần. Vì nó phải kết thúc bằng$000$ ví dụ nhỏ nhất có thể thực sự là $777777777000$.

PS Phần trên cho thấy rằng mọi số có thể chèn phải có tất cả các chữ số$0$ và $7$, chứa nhiều $9$ số lượng $7$và kết thúc bằng ba số 0. Kiểm tra converse cũng dễ, mình nghĩ là có nhưng lười quá: D

Answer 2

Chúng tôi sẽ mô tả đặc điểm của các con số để khi bạn chèn $7$ ở giữa số vẫn là bội số của $7$.

Giả sử số có các chữ số liên tiếp $a$ và $b$ như vậy mà $a$ không phải là chữ số tận cùng bên trái.

Chúng tôi có thể xem xét số được hình thành khi bạn đặt $7$ ở bên trái của $a$ và cũng là số được hình thành khi bạn đặt $7$ giưa $a$ và $b$. Lưu ý sự khác biệt của những con số này là bội số$7$, sự khác biệt giữa hai con số này là $9(7-a)$ nhân với một sức mạnh của $10$. Chúng tôi kết luận rằng mọi chữ số phải là$7$ hoặc một $0$ngoại trừ có thể là những người đầu tiên và cuối cùng. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi biết rằng chữ số cuối cùng là$0$. Nhưng nếu điều này xảy ra thì điều đầu tiên cũng phải$7$ bởi vì nếu không số sẽ không hoạt động.

Do đó số chỉ được có số không hoặc số nguyên.

Nếu số kết thúc bằng $70$ nó sẽ không hoạt động bởi vì $780$ không phải là bội số của $8$. Nếu nó kết thúc bằng$700$ nó sẽ không hoạt động bởi vì $700$ không phải là bội số của $8$ (lưu ý rằng có ít nhất $9$ các chữ số để chúng tôi có thể đặt $8$ Qua bên trái).

Với điều kiện số đó phải là bội số $9$ chúng ta cần ít nhất $7$ số không và số phải kết thúc bằng $00$. Số nhỏ nhất là$777777777000$