Tìm thấy $\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})$

Question

$$\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(\dfrac{\cos{x}}{e^x}\right)$$

Từ đó, tôi thấy rằng $e^x$ phương pháp tiếp cận $0$ trong khi $\cos{x}$ dao động giữa $-1$ và $1$.

Câu trả lời của tôi là giới hạn không tồn tại . Lý do thích hợp để giải thích điều này là gì? Giới hạn có dao động mãi mãi không, tiếp cận$\pm\infty$, Vân vân.?

Answer 1

Vâng, ý tưởng của bạn là đúng, để thể hiện điều đó một cách chặt chẽ, chúng ta hãy xem xét điều đó cho $x_n= -2\pi n \to -\infty$ như $n\to \infty$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=e^{-x_n}=\infty$$

va cho $x_n= -\pi n$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=-e^{-x_n}=-\infty$$

do đó giới hạn không tồn tại.

Answer 2

Lấy $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, Ở đâu $k$ là số nguyên và $k\rightarrow-\infty$.

Chúng ta thấy rằng $e^{-x}\cos{x}=0.$

Mặt khác, đối với $x=\pi k$ và $k\rightarrow-\infty$ chúng ta có $|e^{-x}\cos{x}|\rightarrow+\infty$.

Id est, giới hạn không tồn tại.

Answer 3

Áp dụng thử nghiệm tỷ lệ trên trình tự $x=-2\pi n$.