Tìm tổng thể tối đa / tối thiểu trên một diện tích hình chữ nhật
Tìm tất cả các điểm tối đa / tối thiểu chung của chức năng này:
$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
Trong một hình chữ nhật có các đỉnh:
$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$
Tôi đã cố gắng vẽ hình chữ nhật này và tôi nhận được nó là:
$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$
Tôi đã tính toán các đạo hàm riêng:
$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$
Và tôi hiểu rằng điểm duy nhất là $(3,4)$
Cái nào không nằm trên hình chữ nhật ... nên không có điểm tối đa / tối thiểu chung? Tôi cảm thấy đây là một cách tiếp cận sai lầm, tôi sẽ đánh giá cao sự giúp đỡ của bạn!
Cảm ơn bạn!
Trả lời
Tìm điểm ở đâu $f_x = 0$ và $f_y = 0$cung cấp cho bạn tất cả các cực địa phương trong nội địa của khu vực$[-2, 3] \times [-1, 1]$, tức là hình chữ nhật mở $(-2, 3) \times (-1, 1)$. Những gì bạn đã chỉ ra là không có cực trị cục bộ bên trong. Tuy nhiên, vẫn có thể có cực đại / cực tiểu trên đường biên của hình chữ nhật. (Trên thực tế, bởi vì$[-2, 3] \times [-1, 1]$ nhỏ gọn, phân tích cho chúng ta biết rằng chúng ta có thể tìm thấy mức tối đa và tối thiểu toàn cầu.)
Để tìm các cực đại và cực tiểu toàn cục này, bạn cần xem những giá trị nào $f$ chiếm ranh giới của hình chữ nhật $[-2, 3] \times [-1, 1]$. Khi nào nó nhỏ nhất / lớn nhất?
Ví dụ, trước tiên chúng ta có thể nhìn vào cạnh dưới của hình chữ nhật. Đây là tập hợp các điểm$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. Trên khu vực này, chức năng của chúng tôi$f$ nhận các giá trị
$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$
từ $y$ luôn luôn $-1$trên cạnh dưới của hình chữ nhật. Từ đây, bạn có thể sử dụng phép tính một biến để tính (các) giá trị của$x$ trong $[-2, 3]$ mà $f$ là tối thiểu / tối đa.
Sau đó, thực hiện tương tự cho các bên còn lại.
(Chỉnh sửa: cũng giống như bạn phải kiểm tra các cạnh của hình chữ nhật ngoài phần bên trong của nó, bạn phải kiểm tra "các cạnh" của các cạnh (tức là bốn góc) ngoài chính các cạnh đó! Nói cách khác, đừng ' Đừng quên việc tính f ở mỗi góc trong số bốn góc và xem liệu nó có cho điểm cực trị hay không.)
Thực tế là điểm bạn tìm thấy không nằm trong hình chữ nhật có nghĩa là nếu nhìn vào hàm tổng thể, điểm cực đại / cực tiểu không nằm trong hình chữ nhật. Tuy nhiên, chúng ta chỉ đang xem xét một vùng nhỏ của hàm - vùng bị giới hạn bởi hình chữ nhật.
Nếu bạn có thể hình dung đồ thị của bất kỳ hàm nào bị giới hạn bởi hình chữ nhật đó, bạn sẽ nhận thấy rằng nó chắc chắn có cực đại và cực tiểu ở đâu đó trong đường viền. Trong phép tính một biến, điều này được giải thích bằng định lý giá trị cực trị.
Vì vậy, bạn nên tìm các điểm cực đại và cực tiểu của bốn đường là giao của hàm số và các mặt phẳng y = 1, y = -1, x = -2 và x = 3. Các mặt phẳng này là phần mở rộng của các cạnh của hình chữ nhật.
Nếu bạn có thêm câu hỏi, tôi sẵn lòng trợ giúp.
Bạn đang ở trong trường hợp cổ điển khi cực trị nằm ở biên giới, do đó, nó thực sự không có ích gì để hủy các đạo hàm riêng.
Suy nghĩ về hình học: vấn đề của bạn đề cập đến giao điểm của một paraboloid $P$ đỉnh của ai $(3,4,100)$ và trục được xác định bởi $x=3,y=4$ và một cái hộp $B$ giao điểm với mặt phẳng Oxy là giao điểm bạn vừa tìm được.
Chú thích: Giao lộ $I=B \cap P$ là một hợp của các cung parabol.
Điểm thấp nhất của I sẽ nằm dọc theo trục tung $(x=3, y=1)$(gần trục của P nhất). Cắm các giá trị này vào phương trình để nhận được$z_{min}=109$.
Điểm cao nhất của I sẽ nhận được trên cạnh thẳng đứng của hộp, nơi xa nhất từ trục của P, tức là, với tọa độ $(x=-2,y=-1)$. Một lần nữa, hãy cắm các giá trị này vào phương trình để nhận được$z_{max}=150$.