Về bất bình đẳng Samuelson

Question

Nếu chúng ta có một bộ $n$ số thực: $$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$ trung bình cộng là: $$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$ và độ lệch chuẩn: $$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$ Nếu tập hợp của $n$ các số được giới hạn để: $$m\le x_i\le M$$ một sự tinh chỉnh của bất đẳng thức Samuelson được chứng minh bởi Bhatia và Davies là: $$S^2\le (M-A)(A-m)$$Câu hỏi của tôi là: khi bình đẳng giữ? Tính công bằng có giữ cho bất kỳ loại phân phối nào của các số trong$\Omega?$

Answer 1

Bất cứ gì $i$ chúng ta thấy rằng $S^2$ là một hàm lồi của $x_i$, mà nói: $$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$ Id est, đẳng thức xảy ra cho $x_1=x_2=...=x_k=m$ và $x_{k+1}=...=x_n=M.$

Bây giờ, chúng ta cần chọn một giá trị $k$, mà chúng tôi sẽ nhận được giá trị lớn nhất.

Tôi mong nó sẽ có ích.