Vi phân Meromorphic và pullback.
Trong Phần 3.3 của Diamond & Shurman's A First Course in Modular Forms , các tác giả đã xử lý một cách ngây thơ cái gọi là "vi phân biến hình". Có vẻ như không gian mà chúng biểu thị$\Omega^{\otimes n}(X)$ thực sự là $n^{\text{th}}$ sức mạnh đối xứng của cái gọi là vi phân siêu hình, được ký hiệu là $\Omega^1(X)$.
Đây là câu hỏi đầu tiên của tôi. Những gì là$\Omega^1(X)$? Câu hỏi này có câu trả lời "Đó là một phần của lũy thừa đối xứng bậc n của bó vi phân siêu đẳng" nhưng đối với tôi điều này chỉ đơn giản là đặt ra câu hỏi. Vi phân siêu đẳng là gì?
Tôi tin rằng tôi biết những gì $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ (vi phân holomorphic), nó nên được định nghĩa giống như vi phân trơn dành cho đa tạp thực, nghĩa là $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ chỉ đơn giản là các phần của bó cotang.
Bây giờ vào pullback. Ở địa phương, các tác giả định nghĩa pullback như sau: nếu$\varphi:V_1\to V_2$ là một ánh xạ holomorphic của các tập con mở của $\mathbb C$. Sau đó$$\varphi^*(f(q_2)(dq_2)^n)=f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n(dq_1)^n.$$
Tôi muốn hiểu điều này trong bối cảnh của hình học vi phân. Sự hiểu biết của tôi (phải thừa nhận là gần như độc quyền đối với các đa tạp thực) là nếu$\varphi:X\to Y$ là một ánh xạ holomorphic của các bề mặt Riemann, pullback $\varphi$ trên $\operatorname{Sym}^n\Omega^1(Y)$ Tại một điểm $P\in X$ Là $$\varphi^*_P(\omega_1\cdots\omega_n)(X_1,\dots,X_n):=\omega_1(\varphi_{*,P}X_1)\cdots\omega_n(\varphi_{*,P}X_n)$$ nơi gần nhau $\omega\eta$ biểu thị sản phẩm đối xứng, $\varphi_{*,P}$ biểu thị sự đẩy về phía trước và $\frac{1}{2}(\omega\otimes\eta+\eta\otimes\omega)$ và $X_1,\dots,X_n\in T_PX$.
Đây là câu hỏi thứ hai của tôi, hơi phụ thuộc vào câu hỏi đầu tiên.
Làm cách nào để khôi phục biểu thức cục bộ từ Diamond và Shurman từ biểu thức hình học vi phân? Có phải tôi đã diễn đạt đúng định nghĩa ngây thơ trong ngôn ngữ đa tạp ngay từ đầu không?
Cho đến nay, tôi mới chỉ nghiên cứu các bó véc tơ trong bối cảnh các đa tạp có thể phân biệt được. Tôi hy vọng sẽ (rất sớm) bắt đầu nghiên cứu về mái che bán kết hợp, nhưng tôi chưa hiểu về khuôn khổ này, vì vậy vui lòng trả lời trong ngữ cảnh của các đa dạng và bó phức tạp và thực tế, mặc dù một số dấu hiệu cho thấy cách này hoạt động đối với mái vòm không thể đảo ngược được đánh giá cao vì tôi sẽ hiểu điều này sau một chút.
Trả lời
Hãy để tôi nói rõ hơn về nhận xét ở trên và biến nó thành câu trả lời. Có nhiều cách để định nghĩa vi phân siêu đẳng hình, có thể đơn giản nhất là "phần hữu tỉ của bó cotang". Nói chính xác hơn, nếu$V \subseteq X$ là một tập hợp con mở và $U \subseteq V$ có phải như vậy không $V \setminus U$ bao gồm các điểm cô lập, sau đó $\omega \in \Omega^1_{hol}(U)$ là một vi phân meromorphic trên $V$ nếu nó có các cực dọc theo $V \setminus U$. Ngoài ra, người ta có thể đơn giản xác định một dạng vi phân meromorphic trên$V$ sử dụng biểu đồ - xác định các dạng vi phân meromorphic trên $\mathbb{C}$ như $ f(q) dq$ với $f$ meromorphic, và nói rằng $\omega$ là một dạng vi phân trên $V$ nếu cho bất kỳ biểu đồ nào $\phi : W \rightarrow V \subseteq \mathbb{C}$, $\phi^{*} \omega$là meromorphic. Đây là cách tiếp cận được thực hiện trong Diamond và Shurman.
Không gian được biểu thị $\Omega^{\otimes n}(X)$ Không phải là $n$-thức năng đối xứng, nhưng $n$- công suất tensor thứ. Khi chúng ta có hai gói dòng, chúng ta có thể kéo căng chúng để có được một gói dòng mới. Chúng tôi làm điều đó$n$lần cho gói dòng vi phân siêu đẳng. Trong ký hiệu rõ ràng hơn$$ (dq)^n = (dq)^{\otimes n} = (dq)\otimes \ldots \otimes (dq) $$ Nếu $\varphi : X \rightarrow Y$ là holomorphic, sau đó kéo về thỏa mãn $$ \varphi^*(\omega_1 \otimes \ldots \otimes \omega_n) = \varphi^*(\omega_1) \otimes \ldots \otimes \varphi^*(\omega_n) $$ và chúng tôi có được \begin{align*} \varphi^*(f(q_2)(dq_2)^{\otimes n}) &= \varphi^*(f(q_2)dq_2) \otimes (\varphi^*(dq_2))^{\otimes n-1} \\ &= (f(\varphi(q_1)) \varphi'(q_1) dq_1) \otimes (\varphi'(q_1)dq_1)^{\otimes n-1} \\ &= f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n (dq_1)^{\otimes n} \end{align*} ở đây chúng tôi đã sử dụng quy tắc chuỗi để kéo lùi từng vi sai.