Yêu cầu tham khảo: Khái quát nhiều chiều về định lý cơ bản của phép tính giải tích
$\newcommand\R{\mathbb R}$Để cho $f\colon\R^p\to\R$là một hàm liên tục. Đối với$u=(u_1,\dots,u_p)$ và $v=(v_1,\dots,v_p)$ trong $\R^p$, để cho $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ Để cho $F\colon\R^p\to\R$ là bất kỳ chất chống nhiễm trùng nào của $f$, theo nghĩa là $$D_1\cdots D_p F=f,$$ Ở đâu $D_j$ là nhà điều hành của sự khác biệt từng phần đối với $j$đối số thứ; giả thiết rằng kết quả của sự phân biệt từng phần lặp đi lặp lại này không phụ thuộc vào thứ tự của các đối số mà các đạo hàm riêng được lấy. Để cho$[p]:=\{1,\dots,p\}$. Đối với mỗi bộ$J\subseteq[p]$, để cho $|J|$ biểu thị số lượng của $J$.
Vì vậy, không khó để thiết lập sự tổng quát hóa đa chiều sau đây của định lý cơ bản của phép tính tích ( Bổ đề 5.1 ): \ begin {method} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {method} trong đó$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
Có ai thấy điều này hoặc tuyên bố tương tự ở nơi khác không? (Tôi chỉ hỏi về tài liệu tham khảo, không phải bằng chứng.)
Trả lời
Đối với một thực tế sơ đẳng như thế này, có thể đã được phát minh lại hàng nghìn lần, thật khó để tìm thấy tờ báo đầu tiên nơi điều này xuất hiện. Tuy nhiên, hãy để tôi đưa ra một số bối cảnh còn thiếu. Có cả một ngành lý thuyết trường lượng tử xây dựng và cơ học thống kê về các công thức nội suy "thông minh" có liên quan hoặc công thức Taylor với phần dư tích phân. Chúng được sử dụng để thực hiện cái gọi là mở rộng cụm . Đối với danh tính của OP, không mất đi tính tổng quát trong việc lấy$u=(0,0,\ldots,0)$ và $v=(1,1,\ldots,1)$. Trong trường hợp này, thông qua đảo ngược Möbius trong mạng tinh thể Boolean , công thức xuất phát từ sự đồng nhất sau đây.
Để cho $L$là một tập hợp hữu hạn. Để cho$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ là một chức năng đủ trơn tru và để $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, sau đó $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ Ở đâu $\psi_A(\mathbf{h})$ là nguyên tố $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ của $\mathbb{R}^L$ được xác định từ phần tử $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ trong $[0,1]^A$ theo quy tắc: $x_{\ell}=0$ nếu $\ell\notin A$ và $x_{\ell}=h_{\ell}$ nếu $\ell\in A$. Tất nhiên người ta cần 1) áp dụng điều này cho tất cả$L$là những tập hợp con của $[p]$, 2) sử dụng đảo ngược Möbius trong mạng Boolean, và 3) chuyên biệt để $L=[p]$, và điều này cho thấy danh tính của OP.
Công thức trên là công thức đơn giản nhất được sử dụng để mở rộng cụm "cặp hình lập phương". Xem công thức III.1 trong bài viết
A. Abdesselam và V. Rivasseau, "Cây, rừng và rừng rậm: một vườn thực vật để mở rộng cụm" .
Nó cũng được giải thích bằng những từ ở trang 115 của cuốn sách
V. Rivasseau, "Từ xáo trộn đến chuẩn hóa kiến tạo" .
Bây giờ công thức là một trường hợp cụ thể của một công thức mạnh hơn nhiều, cụ thể là, Bổ đề 1 trong
A. Abdesselam và V. Rivasseau, "Sự mở rộng cụm đa tỷ lệ trường lớn so với trường nhỏ rõ ràng" ,
trong đó một tổng số các chuỗi "được phép" $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ có độ dài tùy ý của các phần tử của $L$, thay vì các tập hợp con của $L$. Khái niệm được phép dựa trên quy tắc dừng tùy ý. Danh tính ở trên tương ứng với "được phép"$=$"không lặp lại" hoặc quy tắc dừng mà người ta không nên áp dụng $\ell$ở cuối một chuỗi mà nó đã xuất hiện. Bằng cách chơi với loại quy tắc dừng lựa chọn này, người ta có thể sử dụng Bổ đề 1 trong bài báo của tôi với Rivasseau, để chứng minh công thức Hermite-Genocchi, công thức Taylor bất đẳng hướng của Hairer trong Phụ lục A của "Lý thuyết về cấu trúc đều đặn" và nhiều thứ khác . Khi nào$f$ là cấp số nhân của một dạng tuyến tính, chẳng hạn, người ta có thể có được các định dạng đại số khác nhau như trong các bài đăng MO
nhận dạng chức năng hợp lý
Nhận dạng liên quan đến tổng trên các hoán vị
Tôi quên đề cập, người ta có thể sử dụng Bổ đề 1 để suy ra công thức Taylor từ phép tính 1. Điều này tương ứng với $L$ có một phần tử và xác định các trình tự được phép làm các trình tự có độ dài tối đa $n$. Xem
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
Các $p=2$trường hợp chiều là một bài tập trong sách giáo khoa giải tích của Rogawski. Đó là bài tập 47 trang 885, mục 15.1 (Tích hợp trong một số biến số) trong ấn bản Siêu việt sơ khai năm 2008.