Ba tuyệt vọng

Question

Ba người liều lĩnh A, B và C chơi trò cò quay kiểu Nga, trong đó họ thay phiên nhau bóp cò khẩu súng lục ổ quay sáu xi lanh nạp một viên đạn. Mỗi lần quay băng đạn để chọn ngẫu nhiên một hình trụ mới để bắn miễn là viên đạn chết người chưa rơi. Các liều mạng bắn theo thứ tự A, B, C, A, B, C ,. . .. Xác định cho mỗi người trong số ba kẻ liều lĩnh xác suất để tên liều mạng này là kẻ tự bắn chết mình.

Tôi phải tính xác suất A chết lúc $i$thử nghiệm lần thứ, vì vậy B và C không bao giờ chết. Nếu tại$1$thử nghiệm thứ không ai chết chúng tôi có $(\frac{5}{6})^3$. Nếu tại$i$thử nghiệm thứ không ai chết mà chúng ta nên có $(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, bởi vì

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

và kể từ khi $A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

Ở đâu $A=[$A không chết$]$. Vì vậy, A sẽ chết tại$i+1$thử nghiệm lần thứ với xác suất $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

Thật không may, kết quả là $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. Tại sao?

Answer 1

Ký hiệu của bạn quá phức tạp hóa vấn đề. Xác suất để súng bắn lần đầu vào$i$- lần bóp cò là $(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... nghĩa là, xác suất mà người đầu tiên $i-1$ kích hoạt kéo không kích hoạt và sau đó $i$-thì có. $A$ chết nếu điều này xảy ra vào lần bóp cò súng đầu tiên, thứ tư, thứ bảy, v.v.: nếu $i=3k+1$ cho một số tự nhiên $k$. Vì thế$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$ Đối với sự hoàn chỉnh, kể từ $B$ và $C$ yêu cầu $i=3k+2$ và $i=3k+3$ tương ứng, $$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$ và $$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

Bạn có thể giải quyết vấn đề này mà không cần bất kỳ tổng hợp chuỗi cầu kỳ nào. Bạn có biết rằng:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

Một lần trong số sáu, $A$sẽ thua ngay. Ở cái khác$\frac{5}{6}$ trong số các trường hợp, $A$ sẽ ở trong tình huống tương tự $C$ ở đầu trò chơi.

Tiếp theo bạn có:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

Nếu A không thua lúc đầu, $B$ sẽ thua với xác suất $P(A)$.

Tất nhiên bạn cũng có:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

vì ai đó phải mất. Bạn có 3 phương trình và 3 ẩn số.