Bằng chứng $e^x - 1 \le e x$ cho $x \in [0, 1]$

Question

Khi đọc một bài báo gần đây, tôi bắt gặp sự bất bình đẳng: $e^x - 1 \le e x$ cho $x \in [0, 1]$.

Tôi đã cố gắng chứng minh điều này bằng cách sử dụng (ngược lại) bất đẳng thức Bernoulli tức là $(1 + y)^r \le 1 + ry$, cho $r \in [0, 1], y \in [-1, \infty)$, tại đây . Ở đây sử dụng thay thế$y = e - 1 \ge -1$ và $r = x \in [0, 1]$. Kết quả là: \ begin {align *} (1 + (e - 1)) ^ x & \ le 1 + x (e - 1) \\ \ ngụ ý e ^ x & \ le ex + (1 - x) \\ \ iff e ^ x - 1 & \ le ex - x \\ \ ngụ ý e ^ x - 1 & \ le ex \ quad \ text {kể từ$x \in [0, 1] \Leftrightarrow - x \in [-1, 0]$} \ end {align *}

2 câu hỏi: Thứ nhất, có bất kỳ vấn đề gì với bằng chứng trên không? Thứ hai, bất cứ ai có thể đề xuất một cách khác để chứng minh điều này? Có rất nhiều bổ đề như vậy được sử dụng trong bài báo này, vì vậy hãy kiểm tra.

Answer 1

Bất cứ gì $x\in[0,1]$ chúng ta có: $$(1+ex-e^x)'=e-e^x\geq0$$ Vì vậy, $$1+ex-e^x\geq1+e\cdot0-e^0=0.$$

Bạn có thể sử dụng Bernoulli cho những việc sau. $$(1+ex)^{\frac{1}{x}}\geq e$$ nhưng để kiểm tra trước bất đẳng thức ban đầu cho $x=0.$

Answer 2

Đối với $0\le x\le1$ chúng ta có

$$e^x-1=\int_0^xe^t\,dt\le\int_0^xe\,dt=ex$$

từ $e^t$ là một chức năng ngày càng tăng của $t$ (và $x\le1$).

Answer 3

Đây là một bằng chứng sử dụng định lý giá trị trung bình. Sự bất bình đẳng là nhỏ đối với$x=0$. Đối với$0 < x \leq 1, $ định nghĩa $$f: [0,x] \to \Bbb{R}: y \mapsto ey - e^y +1$$ Sau đó $f'(y) = e-e^y \geq 0$ cho tất cả $y \in [0,x]\subseteq [0,1]$. Theo định lý giá trị trung bình, có$\xi\in (0,x)$ với

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= f'(\xi) \geq 0$$

Nhưng sau đó $$0 \le\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{ex-e^x+1}{x}$$ và như vậy $0 \leq ex-e^x+1 \iff e^x-1 \leq ex$ như mong muốn.

Answer 4

Bất đẳng thức có lẽ linh hoạt nhất về cấp số nhân là $$\tag1 e^t\ge 1+t$$ cho tất cả $t\in \Bbb R$. Đối với$x\ge0$ chúng ta có thể áp dụng $\int_0^x\mathrm dx$ cho cả hai bên và đạt được $$\tag2 e^x\ge 1+x+\frac12x^2.$$ Từ điều này, Do đó (ít nhất là cho $0\le x\le 1$) $$\begin{align} (1+\tfrac32x)e^{-x}&\ge (1+\tfrac32x)(1-x+\tfrac12x^2)\\ &=1+\frac12x-x^2+\frac34x^3\\&=1+\frac x4(2(1-x)^2+x^2)\\&\ge1.\end{align}$$ Bằng cách nhân với $e^x$ ($>0$) và sắp xếp lại, $$e^x\le 1+\frac32x.$$ Bổ đề của bạn sau đó theo sau từ $e>\frac32$.