Bề mặt Riemann với độ cong âm

Question

Để cho $(M,g)$ là một bề mặt Riemann không liên kết với độ cong Gaussian $K<0$. Chúng ta có thể chỉ ra rằng bao trùm chung của$M$ phải phù hợp với đĩa?

Từ định lý đồng nhất, chúng ta biết rằng vỏ phổ quát phải phù hợp với mặt phẳng hoặc đĩa. Làm thế nào chúng ta có thể phân biệt chúng bằng độ cong?

Answer 1

Nếu $M$ không nhỏ gọn hoặc nếu bạn cho phép $K\to 0$ không có lý do.

Xem xét một số liệu tuân thủ $e^{\varphi (z)} dz d \bar z$ trên $\bf C$. Sau đó$K= -2 e^{-\varphi } {\partial ^2 \varphi \over \partial z \partial \bar z}$.

Lấy ví dụ $\varphi (z)= z.\bar z = r^2$. Sau đó$K=-4 e^{-r^2}<0$.