Bode Plot: tính toán sự thay đổi pha

Question

Tôi cần vẽ chức năng chuyển giao này

Khi vẽ biểu đồ pha so với tần số, tôi gặp sự cố để tính toán sự thay đổi trong giai đoạn từ 10 đến 10 ^ 1,5. Theo hiểu biết của tôi, ở tần số = 10, pha là -90 °, sau đó, có một sự thay đổi pha và độ dốc sẽ tăng với tốc độ 45 ° / tháng nhưng có sự thay đổi tần số ở 10 ^ 1,5. Để tính toán độ cho đến khi đường cong đạt đến 10 ^ 1,5, tôi đã áp dụng lượng giác đơn giản để từ tần số = 10 đến 10 ^ 1,5, đường cong đã di chuyển lên 10,80 °. Tuy nhiên, câu trả lời đó là không chính xác và biểu đồ Bode thực tế cho thấy rằng từ tần số = 10 đến 10 ^ 1,5, đường cong đã di chuyển lên 22,5 °. Ai đó có thể vui lòng giải thích cho tôi làm thế nào để tính toán đúng sự thay đổi pha từ tần số = 10 đến 10 ^ 1,5?

Answer 1

Vâng, chúng tôi có chức năng chuyển giao sau:

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right):=\frac{\text{X}\left(\text{s}\right)}{\text{Y}\left(\text{s}\right)}=\frac{\left(1+10^{-\alpha}\cdot\text{s}\right)\left(1+10^{-\beta}\cdot\text{s}\right)}{\left(1+10^{-\gamma}\cdot\text{s}\right)\left(1+10^{-\epsilon}\cdot\text{s}\right)}\tag1$$

Ở đâu \$\alpha\in\mathbb{R}_{\ge0}\$, \$\beta\in\mathbb{R}_{\ge0}\$, \$\gamma\in\mathbb{R}_{\ge0}\$và \$\epsilon\in\mathbb{R}_{\ge0}\$.

Chúng ta có thể mở rộng RHS của hàm truyền:

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right)=\frac{1+10^{-\beta}\cdot\text{s}+10^{-\alpha}\cdot\text{s}+10^{-\alpha}\cdot\text{s}\cdot10^{-\beta}\cdot\text{s}}{1+10^{-\epsilon}\cdot\text{s}+10^{-\gamma}\cdot\text{s}+10^{-\gamma}\cdot\text{s}\cdot10^{-\epsilon}\cdot\text{s}}=$$ $$\frac{1+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\cdot\text{s}+10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\cdot\text{s}^2}{1+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\cdot\text{s}+10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\cdot\text{s}^2}=$$ $$\frac{10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\cdot\text{s}^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\cdot\text{s}+1}{10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\cdot\text{s}^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\cdot\text{s}+1}\tag2$$

Bây giờ, khi chúng ta làm việc với các hàm hình sin, chúng ta có thể thay thế \$\text{s}=\text{j}\omega\$:

$$\underline{\mathcal{H}}\left(\text{j}\omega\right)=\frac{10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\cdot\left(\text{j}\omega\right)^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\cdot\text{j}\omega+1}{10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\cdot\left(\text{j}\omega\right)^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\cdot\text{j}\omega+1}=$$ $$\frac{1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}}{1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}}\tag3$$

Bây giờ, chúng ta có thể lập luận cả hai bên:

$$\displaystyle\arg\left(\underline{\mathcal{H}}\left(\text{j}\omega\right)\right)=\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)-\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)\tag4$$

Vì vậy, chúng tôi nhận được một vài trường hợp khác nhau:

1. Khi nào \$1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2=0\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag5$$
2. Khi nào \$1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2>0\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\arctan\left(\frac{\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega}{1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2}\right)\tag6$$
3. Khi nào \$1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2<0\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2\right|}{\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega}\right)\tag7$$
4. Khi nào \$1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2=0\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag8$$
5. Khi nào \$1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2>0\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=\arctan\left(\frac{\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega}{1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2}\right)\tag9$$
6. Khi nào \$1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2<0\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2\right|}{\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega}\right)\tag{10}$$

---

Bây giờ, chúng tôi có thể áp dụng điều này cho vấn đề của bạn. Chúng tôi biết rằng \$\alpha=2\$, \$\beta=\frac{5}{2}\$, \$\gamma=0\$và \$\epsilon=\frac{9}{2}\$. Vì vậy, chúng tôi có thể tìm ra các trường hợp khác nhau:

1. Khi nào \$\omega=100\sqrt[4]{10}\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag{11}$$
2. Khi nào \$0\le\omega<100\sqrt[4]{10}\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\arctan\left(\frac{100\left(10+\sqrt{10}\right)\omega}{100000-\omega^2\sqrt{10}}\right)\tag{12}$$
3. Khi nào \$\omega>100\sqrt[4]{10}\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|\omega^2\sqrt{10}-100000\right|}{100\left(10+\sqrt{10}\right)\omega}\right)\tag{13}$$
4. Khi nào \$\omega=100\sqrt[4]{10}\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag{14}$$
5. Khi nào \$0\le\omega<100\sqrt[4]{10}\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\arctan\left(\frac{\left(100000+\sqrt{10}\right)\omega}{100000-\omega^2\sqrt{10}}\right)\tag{15}$$
6. Khi nào \$\omega>100\sqrt[4]{10}\$, chúng tôi nhận được: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|\omega^2\sqrt{10}-100000\right|}{\left(100000+\sqrt{10}\right)\omega}\right)\tag{16}$$

Nếu bạn sử dụng Mathematica, tôi đã viết một mã mà bạn có thể sử dụng:

Plot[Piecewise[{{Pi/2, \[Omega] == 
      100*10^(1/
          4)}, {ArcTan[(100*(10 + 
           Sqrt[10])*\[Omega])/(100000 - \[Omega]^2*Sqrt[10])], 
     0 <= \[Omega] < 100*10^(1/4)}, {(Pi/2) + 
      ArcTan[Abs[\[Omega]^2*Sqrt[10] - 
          100000]/(100*(10 + Sqrt[10])*\[Omega])], \[Omega] > 
      100*10^(1/4)}}] - 
  Piecewise[{{Pi/2, \[Omega] == 
      100*10^(1/
          4)}, {ArcTan[((100000 + 
           Sqrt[10])*\[Omega])/(100000 - \[Omega]^2*Sqrt[10])], 
     0 <= \[Omega] < 100*10^(1/4)}, {(Pi/2) + 
      ArcTan[Abs[\[Omega]^2*Sqrt[10] - 
          100000]/((100000 + Sqrt[10])*\[Omega])], \[Omega] > 
      100*10^(1/4)}}], {\[Omega], 10, 10^(3/2)}, 
 AxesLabel -> {HoldForm[\[Omega][rad/s]], HoldForm[Arg[H[s]]]}, 
 PlotLabel -> HoldForm[Argument], LabelStyle -> {GrayLevel[0]}]

Đầu ra, cho:

Vẽ một phạm vi lớn hơn, cho: