Chứng minh tiêu chí Abel

Question

Tôi muốn chứng minh tuyên bố sau:

Để cho được $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ một chuỗi hội tụ và $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$một chuỗi đơn và có giới hạn. Sau đó$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ cũng là hội tụ.

Tôi biết đã tồn tại một số câu hỏi về vấn đề này, tuy nhiên chúng hầu như chỉ có các giả định bổ sung (tức là $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ với $b_k\geq 0$ cho tất cả $k$).

---

Cách tiếp cận của tôi:

Chúng tôi xác định $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. Như$A_n$ là hội tụ có tồn tại một ràng buộc $A$ như vậy mà $|A_n|\leq A$ cho tất cả $n$. Chúng ta biết rằng$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ là hội tụ và do đó chuỗi $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$cũng là hội tụ (tích của hai chuỗi hội tụ). Để cho được$n_1$ và $n_2$ hai chỉ số như vậy cho tất cả $n,m$ với $n>m>n_1$ nó giữ $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ và cho tất cả $n,m$ với $n>m>n_2$ nó giữ $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. Bây giờ chúng tôi xác định$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. Với ý nghĩ này, chúng tôi áp dụng bổ đề Abel (tính tổng theo từng phần) và nó tuân theo cho tất cả$n>m>n_0$:

$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ Nếu $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ đang giảm đơn điệu nó sau: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$

Nếu $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ đang tăng đơn điệu nó sau: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ Vì vậy, trong cả hai trường hợp $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ thỏa mãn tiêu chí Cauchy và do đó là hội tụ.

Điều này có chính xác không hay có một cách tiếp cận thanh lịch hơn / nhanh hơn?

Answer 1

Đối với một cách tiếp cận khác, chúng ta có thể chỉ ra rằng chuỗi các tổng từng phần hội tụ mà không cần sử dụng tiêu chí Cauchy. Chúng ta tồn tại những giới hạn$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ và $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$

Tổng hợp theo từng phần, chúng tôi nhận được

$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$

Bộ truyện $\sum(b_k - b_{k-1}) $ hội tụ kể từ $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ như $n \to \infty$. Từ$(A_k)$ là một chuỗi có giới hạn và các điều khoản $(b_k- b_{k+1})$ tất cả đều có cùng một dấu hiệu, nó theo sau $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ là hội tụ.

Do đó, loạt $\sum a_kb_k$ hội tụ kể từ

$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$

Answer 2

Nó tuân theo tiêu chí của Dirichlet. Thật vậy, giả sử$b_k \le b_{k+1}$ và $\lim b_k = b$.

Sau đó

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}

Tổng đầu tiên hội tụ vì nó là một giả thuyết và sự hội tụ của tổng thứ hai tuân theo định lý nói trên.

Nhưng đây không phải là một cải tiến đối với lập luận của bạn vì bằng chứng thông thường của tiêu chí Dirichlet được thực hiện thông qua tổng kết theo từng phần.