Cong trong một hình cầu

Question

Để cho $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^3$là một đường cong đều đặn. Nếu tồn tại một điểm$P\in\mathbb{R}^3$ sao cho dòng đi qua $P$ và $\alpha(t)$ vuông góc với đường tiếp tuyến tại $\alpha$ ngay lập tức $t$ bất cứ gì $t$, sau đó là dấu vết của $\alpha$ được chứa trong một hình cầu.

Như $(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)=0$ và $((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'=-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)$, sau đó

$$|P-\alpha(t)|^2=\int((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'dt=\int-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt=\int0dt=c$$ cho một số $c\geq0$.

Nó có đúng không? Làm thế nào tôi có thể giải quyết nó mà không tích hợp?

Answer 1

Bạn thậm chí không cần phải biết khái niệm tích hợp! Chỉ cần sử dụng thực tế rằng$$\left(\bigl\|P-\alpha(t)\right\|^2\bigr)'=0$$cho mỗi $t$, từ đó nó theo sau đó $t\mapsto\|P-\alpha(t)\bigr\|$ là hằng số.