Đại số Sigma được tạo
Tôi không phải là một nhà toán học, thay vào đó tôi chọn các chủ đề khi đang di chuyển, khi tôi cần một cái gì đó cho chủ đề tôi đang nghiên cứu trong thời gian nhất định. Vì vậy, tôi xin lỗi nếu điều này là nhỏ đối với hầu hết các bạn và xin lỗi vì bất kỳ lỗi khái niệm nào mà tôi có thể mắc phải trong phần mô tả - Tôi sẽ cố gắng chính xác nhất có thể.
Hiện tại, tôi đang học Lý thuyết xác suất, từ khóa học này: https://www.youtube.com/playlist?list=PL5B3KLQNAC5jT6yjV1199ji1zUy1YUp6P , [với mục đích tìm hiểu Giải tích Stochastic cho Tài chính (Tập II - S. Shreve)], và tôi tình cờ tìm thấy đại số sigma.
Trong khi tôi hiểu khái niệm; nếu chúng ta có một tập hợp là tập hợp các tập hợp con của Omega (tức là nếu chúng ta có tập hợp các sự kiện) được ký hiệu là F, thì F là một đại số sigma nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau;
- Omega thuộc về F,
- F được đóng dưới phần bổ sung,
- F đóng cửa dưới các Liên minh có thể đếm được
Cho đến nay rất tốt và tôi cũng hiểu các thuộc tính xuất phát từ định nghĩa cũng như cách chúng được dẫn xuất. Ngoài ra, tôi biết rằng chúng ta có đại số sigma tầm thường, đại số sigma nhỏ nhất trên Omega và Đại số Sigma rời rạc, là tập lũy thừa của Omega, là đại số sigma lớn nhất trên Omega.
Vấn đề của tôi là với đại số sigma được tạo. Tôi hiểu định nghĩa; Gọi A là một tập hợp con tùy ý của Omega, khi đó sigma (A) là đại số sigma được tạo ra, được tạo ra từ A và là đại số sigma nhỏ nhất chứa A. Hơn nữa, chúng ta có thể tìm đại số sigma nhỏ nhất bằng cách giao tất cả đại số sigma chứa A. , vì giao của đại số sigma cũng là đại số sigma.
Phần cuối là phần tôi không hiểu và làm tôi bối rối. Tôi hiểu rằng chúng ta có tập hợp lũy thừa của Omega chắc chắn chứa tập hợp A - Nhưng chính xác thì chúng ta có ý nghĩa gì khi giao tất cả các đại số sigma chứa A để tìm tập nhỏ nhất chứa A? Có nghĩa là nếu chúng ta có một đại số sigma chứa tập hợp A và một tập hợp con khác, B (là một đại số sigma chứa A, nhưng tôi hiểu rằng nó không phải là nhỏ nhất) và giao nó với tập lũy thừa của Omega, chúng ta tạo ra sigma (A), thực sự là nhỏ nhất và tinh tế hơn để trả lời các câu hỏi mà chúng ta cần trong vấn đề của mình? Nhưng, chính xác thì đại số sigma lớn hơn (trên tập hợp A và B) đến từ đâu?
Nếu ai đó có thể cung cấp một lời giải thích trực quan hơn hoặc thậm chí đưa ra một ví dụ tốt hơn (hữu hạn, giống như một cuộn chết), tôi sẽ rất biết ơn.
Rất cám ơn bạn đã dành thời gian đọc bài này! :)
Trả lời
Vấn đề là không nên lấy một $\sigma$-đại số học $B$ chứa đựng $A$ và giao nó với bộ quyền hạn của $\Omega$. (Lưu ý rằng nếu$B$là bất kỳ tập hợp con nào của$\Omega$và $P(\Omega)$ là bộ quyền hạn của $\Omega$, sau đó $B\cap P(\Omega)=B$. Vì vậy, giao nhau với tập lũy thừa của$\Omega$ không làm được gì nhiều.) Vấn đề là nếu chúng ta có hai $\sigma$-algebras $B_1$ và $B_2$ chứa $A$, sau đó $B_1\cap B_2$ cũng là một $\sigma$-algebra chứa $A$(tập thể dục). Hơn thế nữa,$B_1\cap B_2$ sẽ nhỏ hơn $B_1$ và $B_2$ (trừ khi một trong số $B_1$ hoặc là $B_2$ chứa cái kia).
Vì thế $\sigma(A)$đưa ý tưởng này đến cực điểm: chúng tôi giao nhau tất cả $\sigma$-algebras chứa $A$. Trong các biểu tượng, hãy$\mathscr{B}$ là tập hợp của $\sigma$-algebras trên $\Omega$ chứa $A$. Sau đó$\sigma(A)=\bigcap_{B\in\mathscr{B}}B$. Sau đó$\sigma(A)$ là một $\sigma$-algebra chứa $A$ (tập thể dục) và nếu $B$ là một $\sigma$-algebra chứa $A$ sau đó $\sigma(A)\subseteq B$theo định nghĩa. Vì vậy, thật hợp lý khi gọi$\sigma(A)$ nhỏ nhất $\sigma$-algebra chứa $A$, hoặc là $\sigma$-algebra được tạo bởi $A$.
Bây giờ bạn hỏi nơi nào lớn hơn $\sigma$-algebras đến từ đâu, và điều đó phụ thuộc rất nhiều vào ví dụ cụ thể. Nhìn chung, bộ sưu tập$\mathscr{B}$ở trên có thể khá phức tạp. Điều mà chúng ta có thể nói chung nhất là luôn có ít nhất một$\sigma$-algebra trong $\mathscr{B}$, cụ thể là, bộ quyền hạn của $\Omega$.
Việc xây dựng $\sigma(A)$ được mô tả ở trên là tốt cho một định nghĩa, nhưng hơi khó áp dụng vào thực tế vì có thể khó hoặc ít nhất là rất tốn thời gian để tính toán $\mathscr{B}$. Đưa ra một cụ thể$A$, nếu ai đó muốn có một mô tả rõ ràng hơn về $\sigma(A)$thì điều này thường liên quan đến việc tính toán các họ của các bộ phải nằm trong bất kỳ$\sigma$-algebra chứa $A$ cho đến khi bạn đến với một gia đình mà chính nó là $\sigma$-đại số học. Thật vậy, nếu bạn có thể đưa ra một bộ sưu tập$B$ mà là một $\sigma$-algebra chứa $A$ và phải được chứa trong bất kỳ $\sigma$-algebra có chứa $A$, sau đó nó theo sau đó $\sigma(A)=B$.
Khi nào $\Omega$ là hữu hạn, ý tưởng bạo lực hợp lý hơn một chút vì bạn có thể bắt đầu đóng $A$ dưới các giao điểm và phần bổ sung cho đến khi bạn nhận được đại số.
Ví dụ: hãy xem xét đường thực và tập hợp tất cả các tập hợp một điểm $\{\{x\}: x \in \mathbb R\}$. Một đại số sigma chứa các tập hợp này là tập hợp lũy thừa. Một số khác là họ của tất cả các bộ đếm được và phần bổ sung của chúng. Có nhiều người khác nữa. Bây giờ lấy các tập hợp chung cho tất cả các đại số sigma như vậy. Điều đó mang lại đại số sigma được tạo ra bởi gia đình của chúng tôi. Trong trường hợp này, đây hóa ra là các tập hợp chính xác có thể đếm được và phần bổ sung của chúng. Lý do: Bất kỳ đại số sigma nào có chứa các tập đơn phải chứa tất cả các tập có thể đếm được (vì chúng là các hợp nhất có thể đếm được của các đơn lẻ). Nó cũng phải chứa phần bổ sung của chúng. Do đó, đại số sigma nhỏ nhất chứa tất cả các đơn nguyên chính xác là họ của tất cả các bộ đếm được và phần bổ sung của chúng.