Độ lớn của độ dời là gì?

Question

Tôi đang nghiên cứu sức mạnh về sức mạnh cho một con đường $c(t)=(x(t),y(t),z(t))$. Tôi hiểu rằng chúng tôi tích hợp đạo hàm của tốc độ, v.v.

Câu hỏi của tôi là, về mặt hình học, $|c(t)|$? $c(t)$ là một công thức của độ dịch chuyển, vì vậy cách giải thích ngây thơ của tôi là lấy độ lớn của nó sẽ mang lại khoảng cách di chuyển, nhưng điều này rõ ràng không phải vậy.

Theo dõi, sự khác biệt giữa tốc độ thay đổi độ dịch chuyển và tốc độ thay đổi quãng đường là bao nhiêu?

Answer 1

"Cách giải thích ngây thơ của tôi là $|\overrightarrow{\boldsymbol{c}}(t)|$ là khoảng cách di chuyển. "

• $|\overrightarrow{\boldsymbol{c}}(t)|$ là khoảng cách từ điểm tham chiếu và là đại lượng tức thời ($t$ đại diện cho một thời điểm).
• Ngược lại, quãng đường di chuyển được đo trong một khoảng thời gian, chẳng hạn,$[t_1,t_2]$, và bằng $$\int_{t_1}^{t_2}\left|\overrightarrow{\boldsymbol{v}}(t)\right|\,\mathrm{d}t\\=\int_{t_1}^{t_2}\left|\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\boldsymbol{c}}(t)}{\,\mathrm{d}t}\right|\,\mathrm{d}t\\=\boxed{\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2}\,\mathrm{d}t}\\\neq\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\=|\overrightarrow{\boldsymbol{c}}(t)|.$$

Answer 2

Nếu bạn nhìn vào công thức cho $|c(t)|$, sau đó nó bằng $$ \sqrt{x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2} $$ đo khoảng cách từ điểm gốc tại thời điểm $t$theo công thức khoảng cách (điều này tương ứng với trực giác rằng độ dời giống như một "dạng vectơ có dấu / của khoảng cách"). Tỷ lệ thay đổi khoảng cách so với điểm gốc sẽ là$\frac{d}{dt} |c(t)|$ và sẽ là một đại lượng vô hướng, trong khi $c'(t)$ như tốc độ thay đổi khoảng cách sẽ tương ứng với vận tốc và là một vectơ.