Đồ thị $x = 2 + e^{-\frac{1}{2}x}$

Question

Câu hỏi của tôi là cụ thể cho phần 2.

Hằng số $a$ có phải như vậy không $$\int_0^a x\mathrm e^{\frac12x}\,\mathrm dx=6\text.$$

1. Cho thấy $a$ thỏa mãn phương trình $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}\text.$$
2. Bằng cách vẽ một cặp đồ thị thích hợp, hãy chứng tỏ rằng phương trình này chỉ có một nghiệm nguyên.
3. Xác minh bằng tính toán rằng gốc này nằm giữa $2$ và $2.5$.
4. Sử dụng công thức lặp lại dựa trên phương trình trong phần 1 để tính giá trị của $a$ Đúng với $2$vị trí thập phân. Cung cấp kết quả của mỗi lần lặp lại cho$4$ vị trí thập phân.

Tôi đã thay đổi thành công tích phân thành dạng đã cho: $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$$

Bây giờ cho việc phác thảo. Tôi rất bối rối về cách tôi phải phác thảo đồ thị này. Tôi biết đồ thị tổng quát của hàm số mũ, nhưng trong$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$, Tôi không có $y$!

Ai đó có thể đi vào chi tiết? Tôi chưa thể quấn lấy đầu mình gần hết phần này, vì vậy các chi tiết sẽ giúp tôi nhìn thấy ánh sáng.

Answer 1

Bạn có thể phác thảo $f(x)=x$. Thông suốt$f(0)=0$ và $f(3)=3$.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào $g(x)=2+e^{-\frac{x}{2}}$. Chúng ta có$g(0)=3$, $g(3)=2+e^{-\frac{3}{2}}<3,$$\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} g (x) = 2 $ và $ \ lim_ {x \ rightarrow- \ infty} g (x) = \ infty. $

Khi đó $ g (0)> f (0) $ và $ g (3) <f (3) $ . Vì vậy, phác thảo cả hai đồ thị, chúng ta có thể thấy rằng có một giải pháp cho $ x \ in (0,3) $ . Xem tại đây .

Answer 2

Đối với phần (iii), bạn sẽ thấy rằng $g(x) = x - \left(2 + e^{-\frac{1}{2}x} \right)$, $g(2) > 0$ và $g(2.5) < 0$. Sau đó, sử dụng IVT để hiển thị sự tồn tại của gốc giữa$2$ và $2.5$.