Ergodicity dưới sự biến đổi

Question

Giả sử $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ được trang bị cấu trúc liên kết sản phẩm và được ưu đãi với Borel $\sigma$-đại số học $\mathcal B(\Omega)$ và có một thước đo xác suất $\mathbb P$ trên $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ như vậy mà sự thay đổi $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ là biện pháp bảo quản, tức là $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ trên $\mathcal B(\Omega)$và ergodic, tức là $A=T^{-1}(A)$ ngụ ý $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ bất cứ gì $A\in\mathcal B(\Omega)$. Bây giờ hãy để$f:[0,1]^3\to[0,1]$ một chức năng có thể đo lường và $U:\Omega \to \Omega$ sự biến đổi được xác định bởi $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ Chúng tôi coi là thước đo xác suất $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ Ở đâu $U^{-1}$ biểu thị preimage.

Sau đó, bởi $T\circ U= U\circ T^2$, nó nắm giữ điều đó $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$vẫn là một hệ thống động lực bảo toàn biện pháp. Nó cũng là ergodic?

Chỉnh sửa: Ví dụ về các phép đo xác suất là gì$\mathbb P$ trên $\mathcal B(\Omega)$ và bộ $A\in\mathcal B(\Omega)$ như vậy mà $T^{-2}(A)=A$ nhưng $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (và do đó nhất thiết $T^{-1}(A)\neq A$)?

Answer 1

Câu trả lời là phủ định: Hãy \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

Xác suất $\mathbb P$ tương ứng với chuỗi Markov bất khả quy trên không gian trạng thái $\{0,1\}$ với ma trận chuyển tiếp $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ có phân phối văn phòng phẩm duy nhất $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. Dựa vào câu trả lời cho bài toán này. Câu hỏiSE hệ động lực học$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$là biện pháp bảo quản và ergodic (nhưng không trộn lẫn). Hiện nay,$T^{-1}(A)=A$ nhưng $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ thời gian $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.