Gia tốc trong tọa độ Rindler

Question

Anh (chị) hãy chỉ ra khuyết điểm cơ bản trong lập luận sau?

Tôi sử dụng Minkowski $x^\mu$ và tọa độ Rindler $\xi^\mu$

$$ x^\mu = (t,x) $$

$$ \xi^\mu = (\eta, \rho) $$

$$ x^\mu(\xi) = \rho \, (\sinh\eta, \cosh\eta) $$

$$ (x^1)^2 - (x^0)^2) = \rho^2; \qquad \frac{x^0}{x^1} = \tanh\eta $$

$$ ds^2 = -dt^2 + dx^2 = -\rho^2 \, d\eta^2 + d\rho^2 $$

và đường thế giới, 2 vận tốc và 2 gia tốc

$$ x^\mu(\tau) = a^{-1} \; (\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

$$ \dot{x}^\mu(\tau) = (\cosh a\tau, \sinh a\tau) $$

$$ \ddot{x}^\mu(\tau) = a \,(\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

với

$$ \ddot{x}_\mu \ddot{x}^\mu = a^2 $$

Khỏe.

Việc chuyển đổi đường thế giới này sang tọa độ Rindler dẫn đến

$$ \xi^\mu(\tau) = (a\tau, a^{-1}) $$

$$ \dot{\xi}^\mu(\tau) = (a, 0) $$

vì vậy - như mong đợi - dòng thế giới này "nằm" ở $ \xi^1(\tau) = \text{const.} $

Tuy nhiên

$$ \ddot{\xi}^\mu(\tau) = 0 \quad \implies \quad \ddot{\xi}_\mu \ddot{\xi}^\mu = 0 $$

Gia tốc biến mất đến đâu?

Answer 1

Được rồi, tôi hẳn đã bị mù.

Trong không gian phẳng nhưng tọa độ cong, người ta phải tính gia tốc bằng cách sử dụng

$$ a^\mu = \ddot{\xi}^\mu + \Gamma^\mu_{\kappa\lambda} \dot{\xi}^\kappa \dot{\xi}^\lambda $$

hoạt động tốt.

Cảm ơn vì gợi ý!