Giá trị số ít lớn nhất
Cho ma trận đối xứng, bán xác định dương $A = bb^T + \sigma^2I$Trong đó b là vectơ cột thì có thể tìm được các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận bằng cách phân tích không? Tôi biết rằng nó có các giá trị riêng thực vì nó đối xứng và vô hạn dương nhưng không chắc về việc giải trực tiếp các giá trị đó và các vectơ tương ứng của chúng.
Trả lời
Các giá trị số ít là giá trị riêng của $A.$ Theo định nghĩa, khi tồn tại một vectơ khác không $\mathbf x$ mà $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x},$ $\lambda$ là một giá trị riêng và $\mathbf{x}$ là một eigenvector tương ứng.
Lưu ý, sau đó, rằng
$$A\mathbf{b} = (\mathbf{b}\mathbf{b}^\prime + \sigma^2I)\mathbf{b} = \mathbf{b}(\mathbf{b}^\prime \mathbf{b}) + \sigma^2 \mathbf{b} = (|\mathbf{b}|^2+\sigma^2)\mathbf{b},$$
chứng minh rằng $\mathbf{b}$ là một eigenvector với eigenvalue $\lambda_1 = |\mathbf{b}|^2 + \sigma^2.$
Hơn nữa, bất cứ khi nào $\mathbf{x}$ là một vector trực giao với $\mathbf{b}$ -- đó là khi $\mathbf{b}^\prime \mathbf{x} = \pmatrix{0},$ chúng ta có thể tính toán tương tự
$$A\mathbf{x} = (\mathbf{b}\mathbf{b}^\prime + \sigma^2I)\mathbf{x} = \mathbf{b}(\mathbf{b}^\prime \mathbf{x}) + \sigma^2 \mathbf{x} = (0+\sigma^2)\mathbf{x},$$
cho thấy rằng tất cả các vectơ như vậy đều là các vector riêng với giá trị riêng $\sigma^2.$
Với điều kiện các vectơ này nằm trong không gian vectơ có chiều hữu hạn về chiều $n$ (giả sử), một quy nạp đơn giản thiết lập rằng các vectơ $x$ mà $\mathbf{b}^\prime \mathbf{x}=0$ tạo thành một không gian con $\mathbf{b}^\perp$ của chiều $n-1.$ Để cho $\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$là một cơ sở chính thống cho không gian con này. Nó mở rộng đến một cơ sở chính thống$\mathscr{E} = (\mathbf{\hat b}, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$ của toàn bộ không gian nơi $\mathbf{\hat b} = \mathbf{b}/|\mathbf{b}|$. Về cơ sở này, ma trận của$A$ do đó là
$$\operatorname{Mat}(A, \mathscr{E}, \mathscr{E}) = \pmatrix{|\mathbf{b}|^2+\sigma^2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \sigma^2 }$$
Cho dù mọi bước của kết xuất này đã rõ ràng hay chưa, bạn có thể xác minh kết quả bằng cách thiết lập
$$Q = \left(\mathbf{b}; \mathbf{e}_2; \ldots; \mathbf{e}_n\right)$$
trở thành ma trận với các cột đã cho và tính toán
$$Q\,\operatorname{Mat}(A, \mathscr{E}, \mathscr{E})\,Q^\prime = \mathbf{b}^\prime + \sigma^2I = A.$$
Đây rõ ràng là sự phân tách giá trị đơn lẻ của biểu mẫu $U\Sigma V^\prime$ Ở đâu $V=Q,$ $\Sigma= \operatorname{Mat}(A, \mathscr{E}, \mathscr{E}),$ và $U=Q^\prime.$
Quy trình Gram Schmidt cung cấp một thuật toán chung để tìm$\mathscr{E}$ (và do đó $Q$): đầu vào của nó là chuỗi các vectơ $\mathbf{\hat b}$, $(1,0,\ldots,0)^\prime,$ và tiếp tục như vậy $(0,\ldots,0,1)^\prime.$ Sau $n-1$ các bước nó sẽ tạo ra cơ sở trực chuẩn bao gồm vectơ bắt đầu $\mathbf b.$
Ví dụ, hãy$\mathbf{b} = (3,4,0)^\prime.$ Với $\sigma^2 = 1,$ tính toán
$$\mathbf{b}\mathbf{b}^\prime + \sigma^2 I = \pmatrix{10&12&0\\12&17&0\\0&0&1}$$
Đây, $|\mathbf{b}|^2 = 3^2+4^2+0^2=5^2,$ vậy nên $\mathbf{\hat b} = \mathbf{b}/5 = (3/5,4/5,0)^\prime.$ Một cách để mở rộng điều này thành cơ sở chính thống là chọn $\mathbf{e}_2 = (-4/5,3/5,0)^\prime$ và $\mathbf{e}_3 = (0,0,1)^\prime.$ Như vậy
$$Q = \pmatrix{3/5&4/5&0\\-4/5&3/5&0\\0&0&1}$$
và chúng tôi có thể xác nhận rằng
$$\begin{align} Q\,\operatorname{Mat}(A, \mathscr{E}, \mathscr{E})\,Q^\prime &= \pmatrix{3/5&4/5&0\\-4/5&3/5&0\\0&0&1}\pmatrix{5^2+1^2&0&0\\0&1&0\\0&0&1}\pmatrix{3/5&-4/5&0\\4/5&3/5&0\\0&0&1}\\ &=\pmatrix{10&12&0\\12&17&0\\0&0&1} \end{align}$$
như dự định.