Giải thích CNOT toán học
Tôi đã từng nghĩ rằng CNOT đảo lộn biên độ của qubit mục tiêu với cơ hội $b^2$ Ở đâu $b$ là $|1\rangle$biên độ của qubit điều khiển. Điều này dẫn đến trạng thái cuối cùng (sau CNOT) của qubit đích sẽ là:$$ \sqrt{a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2} \big|0 \big\rangle + \sqrt{a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2} \big|1 \big\rangle $$ (trực giác là với xác suất $a^2$ không có lật và có xác suất $b^2$xảy ra lật) Nhưng trên thực tế, sau hai lần áp dụng liên tiếp công thức như vậy trên qubit đích, một qubit như vậy sẽ không kết thúc ở trạng thái ban đầu. Vì vậy, hoặc cách giải thích trên là sai hoặc tôi đã làm sai phép toán ở đâu đó. Nếu cách diễn giải của tôi không chính xác, bạn có thể vui lòng cung cấp cách giải thích đúng không? Nếu nó đúng, hãy giúp tôi suy ra nó theo thuật ngữ xác suất và để hiểu cách thức hoạt động của ma trận đơn nhất CNOT.
Trả lời
Đối với một phép toán CNOT, cách tiếp cận đơn giản nhất là suy nghĩ theo logic Boolean. Về mặt toán học, điều này thường được biểu diễn bằng cách bổ sung mô-đun, điều này mang lại cho CNOT hoạt động như$$\vert A, B \rangle \rightarrow \vert A, A \oplus B \rangle,$$ Ở đâu $\vert A, B \rangle$ là sản phẩm tensor của $\vert A \rangle$ và $\vert B \rangle$và $\oplus$ là bổ sung mod 2. Nếu điều này có vẻ xa lạ với bạn, chỉ cần viết ra $2 \times 2$bảng sự thật và bạn sẽ thấy rằng không có gì phức tạp xảy ra ở đây (ngoại trừ có thể là một số ký hiệu lạ). Cũng dễ dàng nhận thấy rằng$A \oplus A \oplus B = B$, đưa ra kết quả mong đợi sau khi áp dụng tuần tự.
Một cách tiếp cận khác là sử dụng các công cụ từ đại số tuyến tính và biểu diễn CNOT như một phép biến đổi đơn nhất. Vì CNOT là một phép toán hai qubit, nên chiều của phép biến đổi là$2^2=4$, cho $$\vert A, B \rangle \rightarrow U_{CNOT}\vert A,B \rangle, \;\;\; U_{CNOT}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{bmatrix}.$$ Điều này cũng rất đáng để giải quyết bằng tay nếu có bất kỳ sự nhầm lẫn nào về lý do tại sao nó hoạt động, lưu ý rằng $U_{CNOT}{}^2=I$.
Một trong những giả định có vấn đề được ngầm hiểu trong phương trình OP là $\vert A \rangle$ và $\vert B \rangle$có thể phân tách sau CNOT, điều này thường không đúng. Nói cách khác, nếu$\vert A \rangle$ và $\vert B \rangle$bị vướng vào sau CNOT, chúng không còn có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái thuần túy. Tại thời điểm này, ma trận mật độ trở nên phù hợp để tránh xử lý các vectơ lớn theo cấp số nhân sau một loạt các cổng nhiều qubit.
Chỉnh sửa để trả lời nhận xét:
Xét về khía cạnh logic, diễn giải của bạn dẫn đến mối tương quan cổ điển giữa các kết quả đo lường của hai trạng thái qubit. Các thí nghiệm Bell và CHSH đã cho thấy không nghi ngờ gì rằng các trạng thái qubit vướng víu không có tương quan cổ điển.
Vì vậy, ít nhất trong các trường hợp CNOT tạo ra sự vướng víu, diễn giải của bạn không phù hợp với thực nghiệm. Thật không may, sau một thế kỷ tranh luận về chủ đề này, người ta vẫn không rõ cách giải thích chính xác là gì (hoặc ngay cả khi cách giải thích như vậy tồn tại). Đáng tiếc hơn nữa là có rất nhiều cách giải thích hợp lý phù hợp với thực nghiệm.