Giới hạn với lôgarit phức tạp

Question

Các giới hạn này có tồn tại nhánh chính của lôgarit tự nhiên không? $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\ln(z^2-1)$$

Tôi nghĩ giới hạn đầu tiên chỉ là $i\pi$. Nhưng tôi không biết phải thanh minh thế nào.

Đối với giới hạn thứ hai, điểm $z\rightarrow 0$đang trong tình trạng cắt cành. Vì vậy, tôi nghĩ rằng giới hạn ở đó không tồn tại bởi vì$\ln$không được xác định. Điều này có chính xác?

Bất kỳ trợ giúp được đánh giá cao.

Answer 1

Đối với $z \in \mathbb C\setminus \{0\}$, bạn có $\Im(-i \vert z \vert -1) = -\vert z \vert <0$.

Vì thế $$\lim\limits_{z \to 0} \ln(-i\vert z \vert -1)=-i\pi.$$

Lưu ý: tuy nhiên bản đồ $f : z \mapsto \ln(-i\vert z \vert -1)$ không liên tục ở mức 0 như $f(0) =i\pi$.

Và bạn đã đúng về giới hạn thứ hai: nó không tồn tại.

Answer 2

Hãy bắt đầu với chiếc máy cá! $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ Chúng ta biết rằng $$e^{i{\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)$$ $$ln(e^{i{\theta}})=ln(cos(\theta)+isin(\theta)) $$ $$i\theta=ln(cos(\theta)+isin(\theta))$$ $$\boxed{\theta=-iln(cos(\theta)+isin(\theta))} \quad (1)$$ Vì vậy, nếu chúng ta có: $$ln(-1)$$ nó có nghĩa là $$cos(\theta)=-1 \space and \space sin(\theta)=0$$ $$\theta=arccos(-1)$$ do đó $$\theta={\pi}$$ Bây giờ chúng ta có thể thay thế trong $$ \quad (1)$$ $$\boxed{\pi=-iln(cos(\pi)+isin(\pi))}$$ $$\boxed{i{\pi=ln(-1)}}$$Bạn có thể biện minh cho bài tập thứ hai bằng cách tương tự. (Xin lỗi vì tiếng Anh và kỹ năng đánh máy của tôi)