Giới thiệu về functor dẫn xuất (Tor)

Question

Để cho $A$ là một vành giao hoán với 1, và giả sử $$0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0$$ là một chuỗi ngắn gọn chính xác của $A$-môđun. Để cho$D$ hạt đậu $A$-môđun.

Tôi hiểu rằng nếu $Tor^{A}_1(D,P)=0$, sau đó là chuỗi chính xác tương ứng $$0 \longrightarrow D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN \longrightarrow D\otimes_AP \longrightarrow 0 $$là chính xác, vì Tor là hàm dẫn xuất trái.

Nhưng ngược lại, nếu chúng ta biết chuỗi sản phẩm tensor đã cho là chính xác, chúng ta luôn có thể nói rằng $Tor^{A}_1(D,P)=0$?

Câu trả lời là có (theo Atiyah nói,) nhưng tôi không thể hiểu tại sao điều này lại đúng. Tôi nghĩ rằng nó có thể xảy ra để$Tor^{A}_1(D,P)\neq0$ nhưng hình ảnh của $Tor^{A}_1(D,P) \longrightarrow D\otimes_AM$ bằng 0, do đó ánh xạ $D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN$ bị thương.

Answer 1

Chúng ta có thể có $N=P$ và $M=0$. Điều này sẽ làm cho$$ 0 \to D\otimes_AM \to D\otimes_AN \to D\otimes_AP \to 0 $$ chính xác không có vấn đề gì $P$ Là.

Tôi nghĩ, thay vào đó, ý của Atiyah là nếu chuỗi căng thẳng là chính xác cho bất kỳ $M,N$ như vậy mà $$0\to M\to N\to P\to 0$$ là chính xác, sau đó chúng tôi nhận được $\operatorname{Tor}_1^A(D,P)=0$.