"Hiệu ứng bướm thực"
Câu hỏi này bắt nguồn từ sự bối rối mà tôi cảm thấy sau khi đọc bài đăng trên blog nổi tiếng này của Sabine Hossenfelder. Thật không may, nó dựa trên bài báo này có tường phí.
Tuyên bố như sau:
Thay vào đó, như đã trình bày trong bài báo Tellus năm 1969 của mình, Lorenz dự định cụm từ này để mô tả sự tồn tại của một rào cản khả năng dự đoán thời gian hữu hạn tuyệt đối trong một số hệ thống chất lỏng đa quy mô nhất định, ngụ ý sự phụ thuộc liên tục vào các điều kiện ban đầu để có thời gian dự báo đủ lớn.
Sự phá vỡ tính liên tục đến hoàn toàn bất ngờ đối với tôi và trên thực tế, đây là bản nháp của tôi về bằng chứng của cuộc trò chuyện:
- Xem xét không gian vectơ tuyến tính của các hàm có hỗ trợ nhỏ gọn trong không gian pha, được tăng cường với thông thường $L_2$ định mức.
- Xác định hoạt động của Hamilton (cổ điển) trên các hàm bằng $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$. Quan sát rằng với định nghĩa này, toán tử là tự liên kết (có thể được chứng minh bằng một đối số liên quan đến việc tích hợp theo các phần).
- Theo định lý Stone , phải có một nhóm dịch thời gian 1 tham số liên tục mạnh mẽ, do đó việc phá vỡ sự phụ thuộc liên tục vào các điều kiện ban đầu là không thể.
Vì kết luận của tôi rõ ràng mâu thuẫn với kết luận trong phần tóm tắt của Palmer và cộng sự, tôi muốn biết chính xác điều gì sai có thể dẫn đến rào cản khả năng dự đoán thời gian hữu hạn trong các hệ thống trưng bày "hiệu ứng cánh bướm thực".
Cập nhật: một lập luận đơn giản hơn nhiều bởi một người bạn của tôi: lấy$U(T/2)$ (toán tử tiến hóa liên quan đến khoảng thời gian $T/2$ Ở đâu $T > 0$là rào cản có thể dự đoán được). Bằng cách xây dựng nó liên tục, như$T / 2 < T$. Vì thế,$U(T/2)^4 = U(2T)$cũng liên tục. Điều này cho phép chúng ta nhìn thấy tương lai xa hơn là rào cản với một toán tử liên tục, điều này trái ngược với giả định ban đầu. Chúng tôi kết luận rằng$T$ phải là vô hạn hoặc không.
Trả lời
Có một số vấn đề với bài đăng trên trang web. Tôi không thể hiểu cách chuyển phương trình Navier-Stokes , là PDE , sang một số hệ ODE (phương trình Lorenz?) Dường như là chủ đề của cuộc thảo luận (cũng đang xem công thức của câu hỏi của GS.Legolasov). Rất tiếc, tôi không có quyền truy cập vào bài báo.
Từ quan điểm toán học thuần túy, mọi thứ đều rõ ràng, vì vậy vấn đề phải liên quan đến mô hình vật lý : một số phân tích của mô tả toán học nên diễn ra ở một mức độ nào đó vì lý do vật lý, nhưng nếu không đọc bài báo thì rất khó để thảo luận về nó.
Dưới đây là một mô tả ngắn gọn về kịch bản toán học liên quan đến sự phụ thuộc vào dữ liệu ban đầu.
Mọi hệ thống ODE (tự trị) như Lorenz 'đều có thể được viết là$$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ Ở đâu $x\in M$, $M$ là một số $C^k$ đa tạp và $F$ a $C^k$ trường vectơ trên $M$ với $k\geq 1$.
Bây giờ nó là một kết quả tiêu chuẩn của lý thuyết ODE rằng, nếu $x=x(t|x_0)$ là nghiệm cực đại của (1) với điều kiện ban đầu $x(0)= x_0\in M$, do đó được xác định trong một khoảng thời gian mở $I_{x_0}\ni 0$, sau đó
(1) bộ $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ đang mở trong $\mathbb{R}\times M$
(2) bản đồ $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ là cùng nhau $C^k$ (và $C^{k+1}$ trong biến $t$).
Do đó, trong miền đầy đủ của giải pháp có $C^k$(do đó liên tục) hình thức phụ thuộc dữ liệu ban đầu. Đặc biệt, khi sửa một số$T$, bản đô $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ Ở đâu $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$, là nhất thiết phải liên tục.
Thay vào đó, nếu chúng ta xử lý các phương trình PDE thích hợp, các phương trình Navier-Stokes một cách chính xác, thì mọi thứ sẽ tinh vi hơn nhiều và như đã được biết đến rất nhiều. Chỉ cần chứng minh về sự tồn tại và định lý về tính duy nhất cho dữ liệu ban đầu đã cho (bây giờ là các hàm) là có vấn đề. Ngày đầu tiên của hình thức phụ thuộc liên tục thậm chí còn nhiều vấn đề hơn.
Về đề xuất của GS.Legolasov, tôi có một số vấn đề với nó.
(a) Chúng ta đang nói đến hệ thống ODE của Lorenz? Đó không phải là Hamilton vì đa tạp có thứ nguyên lẻ, vì vậy$H$?
(b) Thay vào đó chúng ta có đang sử dụng một số cấu trúc Poisson không đồng bộ không?
(c) Tiếp theo, thậm chí đề cập đến $L^2(M)$ (thước đo nào?) qua đa tạp Poisson $M$, $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ là đối xứng ví dụ trong $\mathbb{R}^{2n}$đề cập đến cấu trúc Euclide tự nhiên và cấu trúc tổng hợp chuẩn trong hệ tọa độ Descartes trực tiếp, nhưng về cơ bản nó không nhất thiết phải tự hợp (về cơ bản tính tự hợp của PDE trên đa tạp Riemann là một vấn đề tế nhị và kết quả chung được biết đến đối với các toán tử elliptic$-i\{H, \cdot\}$ nói chung không phải là elliptic [số liệu Riemannian nói chung là gì khi chúng ta chỉ được ưu đãi với cấu trúc Poisson?]).
(d) Cuối cùng, ngay cả khi chúng ta tạo ra một nhóm liên tục mạnh mẽ nhất thể được tạo ra bởi một số phần mở rộng tự kết hợp của $-i\{H, \cdot\}$, Tôi có thể thấy mối quan hệ với sự phụ thuộc liên tục từ dữ liệu ban đầu của ODE được liên kết với $H$.
Đây là những gì có lẽ còn thiếu.
Giới hạn khả năng dự đoán đó yêu cầu sự tồn tại của một cơ chế phản hồi hoạt động trong mỗi bước thời gian trong mô phỏng. Phản hồi tích lũy khuếch đại độ nhạy đối với các điều kiện ban đầu và phóng đại ảnh hưởng của các lỗi làm tròn và tùy chỉnh trong các thuật toán và do đó làm cho hệ thống phân kỳ sau một số lần lặp nhất định. Hiệu ứng này không được nhìn thấy nếu đường phản hồi bị hỏng.