Jacobian chuyển đổi

Question

Trong Phân tích Dữ liệu Bayes , PDF miễn phí có sẵn , phần 4.1 (trang 84, dưới cùng), có một nhận xét nói rằng:

Nếu thay vào đó, chúng tôi đã xây dựng ước lượng bình thường về $p(\mu, \sigma^2)$, ma trận đạo hàm thứ hai sẽ được nhân với Jacobian của phép biến đổi từ $\log\sigma$ đến $\sigma^2$ và chế độ sẽ thay đổi một chút, thành $\tilde{\sigma}^2 = \frac{n}{n+2}\hat{\sigma}^2$.

Câu hỏi của tôi là làm cách nào để chúng tôi tính toán Jacobian từ $\log\sigma$ đến $\sigma^2$? Tôi có thể phân biệt một chức năng này với chức năng kia nhưng tôi không thể dung hòa sự thay đổi đã nêu trong chế độ (điều này khiến tôi nghĩ rằng mình đã nhầm lẫn).

Cảm ơn trước

Answer 1

Đối với biến đổi tham số$$\eta\longmapsto\sigma^2=\exp\{2\eta\}$$người Jacobian là $$\frac{\text d\sigma^2}{\text d\eta}=2\exp\{2\eta\}=2\sigma^2$$và những thay đổi sau từ $p(\mu,\eta)$ thành$$p^\prime(\mu,\sigma^2)=p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\times \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2} = p(\mu,\log(\sigma^2)/2) \frac{1}{2\sigma^2}$$điều này sửa đổi vị trí của chế độ: $$\arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\ne \arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\frac{1}{2\sigma^2}$$ Cụ thể, $$\hat\sigma^2 = \arg\max_{\sigma^2} \left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\right\}$$ đấu với $${\tilde\sigma}^2 = \arg\max_{\sigma^2}\left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\underbrace{-\log \sigma^2}_{+\log \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2}}\right\}=\frac{n}{n+2}\hat\sigma^2$$