Kép của đại số các endomorphisms

Question

Để cho $V$là một không gian vectơ phức có số chiều tùy ý. Tôi phải chứng minh rằng sự đẳng cấu

$\text{End}(V) \to \text{End}(V)^*$ là kinh điển.

Để bắt đầu, tôi thậm chí không chắc bản đồ này trông như thế nào. Tôi biết cách xác định các phần tử của không gian vectơ bằng đối ngẫu của nó, nhưng việc xác định này không chính tắc. Tôi không chắc chắn cách thay thế một không gian vectơ bằng đại số các phần tử của nó làm cho việc nhận dạng này trở thành chính tắc.

Một cách tiếp cận khác mà tôi có thể nghĩ đến là sử dụng đẳng cấu $\text{End}(V) \cong V \otimes V^*$ và làm việc từ đó, nhưng tôi vẫn không thể tìm ra một bản đồ, chưa nói đến việc nó sẽ được chuẩn hóa như thế nào.

Answer 1

Chúng thậm chí sẽ không có cùng thứ nguyên trừ khi $V$là hữu hạn chiều. Nếu$V$ là hữu hạn chiều, có một đẳng cấu chính tắc, một cách trừu tượng được đưa ra bởi sự kết hợp của chuỗi các đẳng cấu

$$\text{End}(V) \cong V \otimes V^{\ast} \cong (V \otimes V^{\ast})^{\ast} \cong \text{End}(V)^{\ast}$$

(nơi chúng tôi sử dụng ở giữa sự đẳng cấu tự nhiên $(V \otimes W)^{\ast} \cong W^{\ast} \otimes V^{\ast}$cũng như sử dụng phép đồng phân kép kép; đây là bước quan trọng nhất) và cụ thể là do

$$\text{End}(V) \ni X \mapsto \left( Y \mapsto \text{tr}(XY) \right) \in \text{End}(V)^{\ast}.$$

Không hoàn toàn rõ ràng rằng những thứ này cung cấp cùng một bản đồ nhưng bạn có thể xác minh nó, ví dụ: bằng cách giải quyết mọi thứ trên cơ sở $V$ và cơ sở kép tương ứng của $V^{\ast}$. Xét về cơ sở như vậy$\{ v_i \}$ và cơ sở kép của nó $\{ v_i^{\ast} \}$ chuỗi isomorphisms đầu tiên đi

$$X \mapsto \sum X_{ij} v_i \otimes v_j^{\ast} \mapsto \left( \sum Y_{ij} v_i \otimes v_j^{\ast} \mapsto \sum X_{ij} Y_{ji} \right) \mapsto \left( Y \mapsto \text{tr}(XY) \right)$$

đó là đẳng cấu thứ hai.

Điều đáng nói chính xác là "canonical" ở đây có nghĩa là, trong số những thứ khác, rằng mọi bản đồ tôi đã viết ra là $GL(V)$-giá trị.